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自然数         
自然数

作者:佚名 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2003-11-26 11:39:17


建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。
  基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。现在使用的英语calculate(计算)一词是从希腊文calculus(石卵)演变来的。中国古代《易·系辞》中说,上古结绳而治,后世圣人易之以书契,这都是匹配计算法的反映。
  集合的基数具有元素"个数"的意义,当集合是有限集时,该集合的基数就是自然数。由此可通过集合的并、交运算定义自然数的加法与乘法(见算术)
  为了计数,必须有某种数制,即建立一个依次排列的标准集合。随后对某一有限集合计数。就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应,所对应的最后的项,就标志着给定集合元素的个数。这种想法导致G.皮亚诺1889年建立了自然数的序数理论。
  皮亚诺规定自然数集满足下列五条公理,这里"集合"、"含有"、"自然数"、"后粥"等是不加定义的。
   ① 是自然数。
   ② 不是任何其它自然数的后继。
   ③ 每个自然数都有一个后继(a的后记为)
   ④ a/=b/蕴含a=b
   ⑤ 设S是自然数的一个集合。如果S含有1,且S含有a / 蕴含S含有 ,则S含有任何自然数。
  公理⑤就是熟知的数学归纳法公理。一切自然数集记为{1, 2 , 3 ,…,n …},简记为N。
  从上述公理出发,可以定义加法和乘法,它们满足交换律与结合律,加法与乘法满足分配律。


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