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[组图]在问题探索中发展学生思维         ★★★
在问题探索中发展学生思维

作者:高青县实… 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2008-7-27 9:58:11


在问题探索中发展学生思维
高青县实验中学 杜学玲

问题是数学的心脏,有了问题思维才有了方向,有了问题思维才有了动力。从问题出发,使学生展开思维的翅膀,积极地投入到教学活动中来。我充分领略到了北师大数学教材“创设问题情境”的魅力所在,它为学生留下了思考的空间,让学生在课堂中得到最大的发展可能,这样的课堂将是学生“学习的乐土。”

一、 教师在创设问题情境中的作用,是能针对不同的教学内容设计有目的性的问题

(一) 探求规律的问题

探求规律问题是新课标的重要内容,同时也是近几年中考的重要内容。这类问题不但能考查学生的知识掌握能力,更重要的能考查学生的思维能力。通过研究这类问题发现也有一定的规律。比如从特殊情况入手,经过仔细的观察,认真地分析,得出结论;比如通过图形的分割等方法,探求出规律。

问题1:观察下列各式你会发现什么规律:3×5=15,而15=42-1;5×7=35,而35=62-1;……,11×13=143,而143=122-1,将你猜想到的规律用只含有一个字母的代数式表示出来。

析解:通过观察发现3和5是两个连续的奇数。而4恰好是3与5之间的偶数。并且其余各式也具有同样的规律,即两个连续奇数的积,等于它们中间所夹偶数的平方与1的差。用代数式表示为(2n-1)(2n+1)=4n2-1(n≥1的整数)

问题2:将一张长方形的纸对折,可以得到一条折痕。继续对折,每次对折的折痕与上次的折痕保持平行。连续对折6次后,可以得到几条折痕?如果对折10次呢?对折n次呢?

析解:

次数

折痕的条数

条数与次数的关系

1

1

1=2-1=21-1

2

3

3=4-1=22-1

3

7

7=8-1=23-1

4

15

15=16-1=24-1

n

2n-1

2n-1

方法点拨:与数字有关的规律问题常常从特殊到一般,探究结论与序号的关系,从而使问题得到解决。

问题3:下面是用棋子摆成的“小屋子”摆第1个“小屋子”需要5枚棋子,摆第2个需要______枚棋子,摆3个需要______枚棋子。按照这样的方式继续摆下去。

(1) 摆10个这样的“小屋子”需要多少枚棋子?

(2) 摆n个这样的“小屋子”需要多少枚棋子?你是如何得到的?你能用不同的方法解决这个问题吗?

析解::方法一: 列表转化为数字问题

小屋子序号

棋子的个数

棋子个数与序号关系

1

5

5=6-1

2

11

11=12-1=6×2-1

3

17

17=18-1=6×3-1

4

23

23=24-1=6×4-1

n

6n-1

6n-1

 

方法二:从相邻两个图形的关系得出结论。即第2个比第1个多用6个,第2个所用棋子数为5+6个;第3个比第2个多用6个,因此第3个所用棋子数为5+6+6=5+6×2个;第4个比第3个多6个,因此第4个所用棋子数为5+6+6+6=5+6×3个;……第n个小屋子需用的棋子数为5+6(n-1)个。

方法三:拆图法。将小屋子按照结构上、下拆成两部分如下图

序号

1

2

3

4

n

棋子数

1+4

3+8

5+16

7+20

(2n-1)+4n

拆法二按照结构分内、外两部分如下图:

序号

1

2

3

4

n

棋子数

5+0

10+1

15+2

20+3

5n+(n-1)

你还有别的拆法吗?试试看。

方法四:将小屋子的外围看成是五边形,再加上横的一条边,不难得出结论5n+(n-1)或5(n+1)-5+(n-1)或6(n+1)-7。你能解释每个式子的含义吗?

(二)应用类问题

问题4:将进货单价为40元的商品按50元售出时,一周内,能卖500件,如果该商品每涨价1元时,其销售量就减少10件,为了赚8000元利润,售价应定为多少元,这时应进货多少件?

经过师生分析讨论,很快得出此营销问题的解决方案:设商品定价为(50+x),则每件商品得利润为[(50+x)-40]元,因每涨1元,其销售量会减少10件,则每件涨价x元时,其销售量就减少10x件,故销售量为(500-10x)件,为赚得8000元利润,则应有[(50+x)-40](500-10)=8000,解得x1=10,x2=30;当x=10时,50+x=60,500-10x=400;当x=30时,50+x=80,500-10x=200.(均符合题意)

所以要想赚8000元,可使售价定为60元,则进货量为400件或售价定为80元,则进货量相应为200件.

本题到这应该可以结束了,可老师又提出了新的问题:本题的解决方案有两个,即方案一:售价定为60元,进货量为400件;方案二:售价定为80元,进货量为200件.假如你是该商品的经销者,你觉得哪个方案更好呢?

(旁白:为进一步培养学生数学应用的综合能力,在这里提出了这个问题,同时也起着激发学生学习兴趣、培养学生探索能力的作用.显然方案二好,因为方案二投资费用少,且进货量少,带来的其它费用也少)

生:(讨论)……

结果分成两派,竟各占一半(意外一).

师:既然大家意见这么不一致,那么我们现在就这个问题展开辩论,看最终谁能获胜,现在请你们叙述各自的理由.   (旁白:以下称选择方案一的为甲方,选择方案二的为乙方)

甲方:我们认为应选择方案一,因为方案一价格低,消费者会更多的选择采用方案一的商家,从而促进销量的增加而增加利润.

乙方(立刻):我们不同意,因为题目中的情境已经限定,这两种方案都将获得8000元,我们认为应选择方案二,因为方案二的进货量少,投入的资金成本低.

师:对,本题的定价与销售量题目中设定好,大家应在设定范围内讨论,乙方能从经营成本的角度考虑这个问题,有道理,很好.这一轮我认为是乙方胜!不知甲方如何看待?

(停顿,讨论.)

甲方:方案一虽然投入资金成本高一些,但方案一的价格低,消费者多,会促进本店其它商品的销售,带来综合效益的提高.

师:(意外二,鼓掌)很好,甲方同学能从商店的综合效益出发,提出了对这个问题的看法,大家是不是觉得很有道理!

(这一回主要是乙方的同学在讨论探究了……终于)

乙方:甲方的观点虽有一定道理,但方案二不仅投入的进货成本低,而且由于进货量少,从而带来其它费用如运输费、库存费等也少,这样可把节省下来的资金用于其它投资再产生新的利润,因此从综合效益看也是可取的;其二,从利润率来看,方案一的利润率为50%,方案二的利润率为100%,故我们坚持认为方案二好.

师:(意外三)好!乙方同学不仅从综合效益的角度坚持了他们的观点,而且用数学方法从另一个角度──—利润率来阐述他们的观点,相当好.你们说是不是该判断乙方获胜呢?不过,我相信甲方同学一定还有新的理由!

果然,一阵骚动、议论……

甲方:我们不同意他们获胜,方案一的短期效益可能不及方案二,但从长期效益来看消费者会以为采用方案一价格公道,而方案二利润率达100%,有暴利的嫌疑……

真是仁者见仁,智者见智,讨论已经超出了数学的范畴,同时我想双方都会从对方的观点中学到了什么,那就是辩证地看问题.

二、学生在问题探究中的作用,是一种宝贵的教学资源

与学生交流是我教学生涯中最有意思的事情。他们的表现有时会让你大吃一惊,完全出乎你的意料,例如李宇飞同学提的问题,恰好是我的下一个教学环节,但它由学生自己提出来,能取得其他同学的“共鸣”,对他们是一种激励、一种启发,更能引发学习探究的兴趣。再如“百万分之一有多大”一课还没上,有的学生竟然知到比毫米小的是“微米”,比微米小的是“纳米”,还知道“光年”是长度单位,而不是时间单位。有的学生甚至测量出了四季青的叶子厚大约1毫米……凡此种种,使我真不敢小瞧他们,能与他们共同思考、共同快乐、共同成长,是一件多么快乐的事情!

“课堂是什么?”“教育是什么?”课堂是学生生活的一个重要组成部分,是他们展现个性、表现自我的舞台,是他们人生发展的台阶。同时也是教师生命中的45分钟,是教师实现人生价值的地方,教育即生活。



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