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[组图]以整体观为指导提升问题的“启发度”           ★★★
以整体观为指导提升问题的“启发度”

作者:佚名 文章来源:人教网 点击数: 更新时间:2015-4-17 22:22:30


以整体观为指导提升问题的“启发度”
人民教育出版社 章建跃

上文讨论了思维的“启发度”,提出“教师提问题的质量决定了教学的质量,而问题的质量主要体现在‘启发度’的把握上”,并认为具有良好“启发度”的问题须满足两个条件:反映数学本质,在学生思维最近发展区内发问。本文再以正(余)弦定理的教学为例,谈谈如何把握“启发度”。

首先,分析正(余)弦定理的本质。

显然,解直角三角形不必用到正(余)弦定理。因此,问题的引入一定是为了解一般的三角形。“解三角形”就是已知三角形的几个元素求其他元素。从判定三角形全等的“基本事实”可知,SSS的几何意义是△ABC的三边长唯一确定了它的三个内角,或者说,其三个内角分别是它的三边边长的函数;同样,SASASA的几何意义是三角形的其他要素可以用这样所给的一组(自变)量加以表达。

总之,三角形的六个要素中,只要知道三个(其中至少有一个是边),三角形就唯一确定,即其余三个要素可以由这三个要素唯一确定(在SSA中,有三种可能的情况)。从定量角度,由这样所给的三个要素可以求出其余三个要素,这就是正(余)弦定理的本质。

进一步地,从整体观出发,一个三角形包含的各种几何量,如三边的边长、三个内角的度数、面积、外径、内径、高、中线长、角平分线长等,这是三角形这个整体中的各种要素。由三角形全等的“基本事实”得到的三角形形状、大小的唯一确定性,可知所有其他要素都可以由这样所给的一组(自变)量加以表达。其实,这些几何量之间存在着丰富多彩的函数关系,它们在一定条件下就可以相互表达。

其次,看学生的思维最近发展区。关于三角形,学生已经定性研究过三角形的“等”与“不等”问题,学习了三角形内角和定理、面积公式、勾股定理、相似三角形定理,以及锐角三角函数等等。从思想方法、解决问题的策略等方面看,学生对于如何发现和提出问题、从定性到定量地研究问题、将新问题化归为旧问题、从知识的相互联系性发现解题思路等都已经有比较多的经验。

因此,教学设计中,可以从解三角形的整体性出发,根据正(余)弦定理的本质,从学生对三角形已有的知识经验(定性、定量的认识)出发,在定理的发现阶段加强从定性到定量地研究问题、三角形的各种几何量之间的基本关系的相互表达等方面加强引导;在定理的证明阶段,则要从知识的联系性上加强引导,使学生通过对三角形各种几何量的基本关系表达式进行灵活变形,发现各种证明方法。

下面给出正弦定理、余弦定理教学的问题设计。

问题1 一个三角形包含的各种几何量,如三边的边长、三个内角的度数、面积、外径、内径、高、中线长、角平分线长等,它们之间存在着各种各样的函数关系,这些关系通称为三角定律。这些关系中,你知道了哪些?进一步研究这些几何量的关系时,你认为可以从哪里开始?

问题2 对于△ABC,我们已经知道∠A+∠B+∠C180°和面积公式,对于RtABC,我们知道a2+b2=c2sinA=a/csinB=b/c等。那么一般三角形的六个要素之间有什么定量关系呢?你打算用哪几个要素表示其余要素?

追问1 研究数学问题,特殊化、一般化是经常使用的策略,我们可以把一般三角形化归直角三角形。你能利用直角三角形的有关结论推出一般三角形六个要素之间的关系吗?         

追问2 如图,△ABC中,hBC边上的高。由此你能得到关于△ABC的哪些关系?

说明:上述问题1是从整体上提出问题,使学生明确三角定律的研究内容。问题2是从学生熟悉的地方开始,通过追问,把学生的思路引导到借助已有的三角形知识得出相关结论。教学过程中可以让学生把所有关系表示出来,然后建立它们的联系而得出正弦定理、余弦定理。例如:h=csinB,于是S=1/2acsinB;同理,S=1/2absinCS=1/2bcsinA。由此很容易地得出正弦定理。

又由ABACBC上的垂直投影可得a=bcosC+ccosB;同理有b=acosC+ccosAc=bcosA+acosB。解三元一次方程组即得余弦定理。

至于上文说到的上述结论要对直角三角形、钝角三角形再分别予以验证,则只是一个细节问题了。

需要指出如下几点:第一,上述关于面积的表达式S=1/2acsinB,乃是三角形与正弦函数的最重要的关系;第二,上述定理的推导过程是非常简捷的,其中在面积和垂直投影的表达式中出现的三角形各要素的对称式起着重要作用;第三,通过上述基本图形得出正(余)弦定理后,应引导学生探索用其他方法证明两个定理,其目的是建立相关知识的联系性,例如正弦定理和余弦定理互推,借助三角形的外接圆,利用向量的数量积证明余弦定理等。

上述整体观指导下的问题设计,从宏观逐步过渡到微观,对学生的思维引导是不断具体化的。这样可以照顾到不同层次的学生:能力强的学生可以在问题1提出后就展开独立研究;能力不够的学生可以在追问2的引导下展开思考,教师还可以提示学生写出所有结果,再把它们联系起来看,就能容易地发现两个定理。

在对三角形的各种几何量之间存在的各种函数关系的研究中,通过这样的问题设计,可以体现出系统思维的力量,在培养学生的系统思维,使学生掌握认识问题和解决问题的方法,提高他们发现和提出问题、分析和解决问题的能力等方面都能发挥很好的作用。

由上述分析也可发现,上文指出的教学中存在的问题,实际上也只是就事论事。如果按本文的分析,在整体上把握内容,从正弦定理产生的源头出发设计问题,那么就不会出现“要证,即证之类的问题,而是定理的发现和证明一气呵成,不仅省时省力,立意高而且大气,学生对定理的认识也更全面而深刻。



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