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[组图]乘法公式           ★★★
乘法公式

作者:佚名 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2016-9-26 21:58:27


乘法公式
──平方差公式
湖北省襄樊市襄阳区城关一中 朱小平 湖北省襄樊市襄阳区教研室 赵素芬 湖北省襄樊市教学研究室 吴明龙

  一、内容和内容解析

 

  【内容】 八年级上册第15章第2节第一课时乘法公式──平方差公式

 

【内容解析】“平方差公式”是初中阶段学生学习“乘法公式的第一个公式,让学生了解公式产生的背景,经历公式形成的推导过程,学生从已有的认知出发,在一组多项式乘以多项式的乘法运算中,发现有特殊形式的多项式相乘,运算结果特别简单,从而诱发学生从中总结出这种特殊的多项式相乘的特征,初步感受平方差公式;通过数形结合验证平方差公式的合理性,进而确立平方差公式的地位和作用:既为符合公式特征的整式乘法运算带来简便,又为后续学习用公式法分解因式奠定基础;从公式的探究推导活动中,让学生学会从“特殊”到“一般”的探究方法,为学生以后能主动探究完全平方公式,甚至是立方和、立方差等数学公式奠定良好的迁移基础.要想熟练而正确的应用公式解决问题,学生必须对公式结构特征进行剖析,在剖析中加深了对公式特征和表达形式的理解与掌握,又为学生学习掌握其他数学公式提供了学习的模板.因此,“平方差公式”在“乘法公式中具备核心的地位.让学生体会研究“公式问题”的“基本套路”:从一般问题(整式乘法)中发现特殊情况(平方差),举三反一,再考察特殊情况存在的共性及合理性,进而归纳出特殊情况的一般特征,归纳得到公式并用文字、符号表示;能够辨析公式,明确其结构特征,在实践中加以应用,举一反三,体会它存在的必要性和便捷性.同时为学生感悟和体验数学思想与方法(归纳、转化、数形结合)也搭建了一个不可多得的平台.

 

基于上述分析,确定本节的教学重点是;

 

理解并掌握平方差公式及其结构特征;会运用此公式进行计算.

 

二、目标和目标解析

 

【目标】  1、了解平方差公式产生的背景,理解平方差公式的意义,掌握平方差公式的结构特征,并能灵活运用平方差公式解决问题.

 

2、经历平方差公式产生的过程,体验知识的产生与发展,感受利用归纳、数形结合等数学思想方法解决数学问题的策略,培养学生观察、归纳、概括的能力.

 

3、在探索平方差公式的过程和在解决问题过程中学会与他人合作交流.在公式的学习及运用中积累解题的经验、体验成功的喜悦,提高学生学习数学的兴趣.

 

  【目标解析】学生经历公式的形成过程:从“特例──一般”用“归纳──猜想──验证──数学符号”表示等过程,进一步发展学生的符号感、培养他们的合情推理和归纳的能力;让学生能理解公式中a b 各代表什么,能够分析、运用平方差公式的结构特征解决问题;让学生在经历从具体到抽象,从一般到特殊中,寻找规律,自我归纳,明确解决同类问题的基本套路,积累数学活动的经验,感受“平方差公式”的魅力,提高数学学习的兴趣;在自主探究、合作交流的过程中体验学习的快乐和幸福,从而能主动地去理解数学、感悟数学的精神.

 

三、教学问题诊断分析

 

学生的认知基础有:第一、七年级学生已有用字母表示数的基础.第二、学生已学习了多项式的乘法,但本节课所给特殊形式的多项式相乘,主要体现在结构特征的特殊性上,而这种特殊形式又灵活多样,学生常常在字母表示的广泛含义上不易掌握(如字母表示负数,多项式等),在平方差公式的灵活运用时常发生多种错误,如:① 符号错误(-5a- 3)(+5a-3=25a2-9 ② 系数不平方(2a-1)(2a+1=2a2-1 ③ 不能运用公式的而运用公式(a+0.5b)(b-0.5 a=a2-0.25b2,其原因就是只了解公式(a+b)(a-b=a2-b2的表面形式,而未真正掌握平方差公式的本质特征.

 

鉴于此,本节的教学难点是:

 

理解乘法公式的结构特征及几何意义,并能灵活运用平方差公式.

 

  四、教学支持条件分析

 

  利用多媒体展示教学的部分环节,如创设情景、公式的几何意义等,从而支持课堂教学,突出重点,突破难点.

 

  五、教学过程设计

 

  (一)创设情境,快乐起航

 

从前,有一个狡猾的庄园主,把一块边长为a米的正方形土地租给张老汉种植.第二年,他对张老汉说:“我把这块地的一边减少5米,相邻的另一边增加5米,继续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何?”张老汉一听,觉得好像没有吃亏,就答应道:“好吧”.回到家中,他把这事和邻居们一讲,大家都说:“张老汉,你吃亏了!”张老汉非常吃惊.你知道张老汉是否吃亏了吗?学习了本节课的知识,你将能轻松地解决.

 

  [设计意图]从生活中的实例引入,一是激发学生求知兴趣;二是为说明平方差公式的几何意义做好铺垫.

 

  (二)自主探索,获取新知 

 

  问题1:利用多项式的乘法法则,计算下面各.再观察、分析这组题目左边的算式和右边的结果,你能从中发现什么规律?(小组讨论)

 

           1)(a+b(m+n)=am+an+bm+bn          (4)a+5)(a-5

 

            (2)(x+3)(y+4)=xy+4x+3y+12           5(p+q) (p-q)

 

            (3)(y+3)(y-2)=y2+y-6                6)(2x+1)(2x-1

 

  问题2:通过这些题目的计算,你发现了什么?

 

(视学生活动情况,可预设以下两个追问)

 

  (追问1):(4)(5)(6)题在形式和结果上与其它各题有什么区别?

 

  (追问2):观察、分析(4)(5)(6)左边的算式和右边的结果,你能从中发现什么规律?(小组讨论)

 

4)(a+5)(a-5  =  a2-5a+5a -52     =  a2 - 52           

 

5(p+q) (p-q)   =  p2-pq+pq-q2      =   p2 - q2

 

6)(2x+1)(2x-1=2x22x+2x-12   = 2x2-12

 

  发现:【左边】 两个数的和与这两个数的差的积   【右边】这两个数的平方差  

 

  猜想:(a+b)(a-b=? 

 

  [设计意图]   在教学中以一组相关联但又有区别的题目为载体,学生通过计算,观察每个算式的特点、结果的特点,挖掘题目间的共性,发现规律,举三反一,猜想公式,让学生经历从一般到特殊,从具体到抽象的过程,体会归纳这一数学思想方法.

 

  问题3:你能通过计算(a+b)(a-b),说明猜想的合理性吗?                      

 

         a+b)(a-b=a2-ab+ ab-b2 =a2-b2       

 

  归纳平方差公式:(a+b)(a-b= a2-b2即:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.

 

  [设计意图]通过多项式的乘法法则践行猜想,让感知得到到理性的检验,体现数学学科思维的严谨,让合情推理与演绎推理完美并进,进而准确的用数学语言表述公式.

 

  (三)剖析公式,揭示本质

 

  问题4:你能揭示公式的结构特征吗?(学生先自主辨析,再交流互补,不但完善)

 

左边                右边                

 

结构特征  a+b)(a-b   =     a2   -  b2

 

                 相同项   相反项      相同项2相反项2

 

                [aa]   [b-b]

 

  [设计意图]揭示公式的结构特征,是学生理解公式、进而灵活运用公式解决问题的前提条件.让学生自主辨析、合作交流、共同总结得以明晰,既体现了学生学习的主动性,又为学生学习公式进行了学法指导,可谓“一箭双雕”.

 

(四)数形结合,几何说理

 

问题5:现在,你知道张老汉是否吃亏了吗?吃亏了多少?

 

  追问:如果将张老汉所租的正方形土地的一边减少b米,相邻另一边增加b米, 现在的土地面积是多少?原来的土地面积是多少?两者相比,发生了怎样的变化?请你将图(1)重新拼图,验证结论的正确性.它说明了什么公式?   

    

  [设计意图]使学生直观地经历变化的过程,从数形结合的角度加深对公式的理解.

 

(五)巩固运用,内化新知 

 

开心一试 真我巧变

 

1.你能用□和○分别代表ab来表示平方差公式吗?

 

 (+)(□-○) =2-○2

 

2.请你根据等式在□和○里填数或式

 

如( 2a +⑤)(2a -⑤)=2a2-2

 

教师可根据学生的回答,补充多项式的形式.

 

  小结:其中□(即a)和○(即b)可以表示数,单项式或多项式.

 

  [设计意图] 这道开放题的设计,以剖析ab的广泛含义为目的,对于认清公式的结构特征起到事半功倍的作用,在后面公式的运用中相信学生会更加得心应手.

 

锋芒毕露  模拟演练  

 

  3.填一填  

 

[设计意图] 设计此题旨在将算式中的各项与公式里的ab进行对照,进一步体会字母ab的含义,举一反三,加深对字母含义广泛性的理解.

 

   你挑我选  慧眼识珠

 

  4.判断对错,如果有错,如何改正?(大组竞赛)

 

(1)x-2)(x+2=x2-2             ( ) (2)2a+5)(2a-5=2a2-25  ( )

 

(3)-1+3m)(1+3m=1-9m2         ( ) (4)a+b)(b-a=a2-b2     ( )

 

(5)1/3-4xy(1/3+4xy)=1/9-16x2y2( ) (6)4x+3b)(4x-3b=16x2-9( )

 

  [设计意图] 对学生常出现的错误,进行预设,防微杜渐.

 

  例 题:计算

 

110298     2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5  

 

大显身手  巧用善用 

 

  5.计算

 

(1)5149        (2)3x+4)(3x4)-(x+3)(x2

 

  [设计意图] 通过转化,利用公式计算,体会平方差公式的便捷.

 

争我风采  易如反掌    

 

6.变式练习

 

  (1)填空: ① (-m+___)(n+____)=n2-m2

 

       ② 写出与(-a+b)相乘能用平方差公式的因式___________________

 

       ③(5a+b+3c)(5a+b-3c)=A2-B2,A=_______B=______.

 

  (2)计算:  (x+y)(x-y)(x2+y2),并根据此题自编一道类似的题,同桌交换做一做.

 

  (320082-20092007

 

[设计意图] 通过变式训练,让学生学会逆向思维和发散思维,从而加强学生对公式结构特征的理解,连续使用平方差公式是对公式应用的拓展与提高.

 

  (六)小结梳理,布置作业 

 

1.小结

 

1)本节课你学到了什么数学知识?

 

a+b)(a-b=a2-b2 

 

  (2)平方差公式的结构特征是什么?

 

左边:两个因式中一定有相同项和相反项

 

右边:相同项的平方减去相反项的平方.

 

  (3)本节课你感悟到哪些数学思想方法?(转化、数形结合)

 

  2.作业

 

  (1)课内作业 

 

①、P156  T1

 

②、先化简,再求值    x(x+2)-(x+1)(x-1),其中x=1/2

 

  (2)课外探究

 

从边长为a的大正方形纸板中,挖去一个边长为b的小正方形后,将其裁成四个相同的等腰梯形,再拼成一个平行四边形.如图所示,那么通过计算平行四边形的面积,可以验证公式     ________

   

[设计意图] 数形结合,从几何意义上理解代数公式,多方位的去理解新知、运用新知,加深学生对平方差公式的理解.

 

六、目标检测设计

 

(一)选择题

 

1、下列各式计算中,结果正确的是( 

 

A、(x-3)(x+3=x2-6     B、(x+5)(3x-5=3x2-25

 

C、(-x-y)(x+y=x2-y2   D、(2ab-c)(c+2ab=4a2b2-c2

 

2、下列各式相乘,能用平方差公式计算的是( 

 

1)(2a-3b)(3b-2a     2)(-2a+3b)(-2a-3b   

 

3)(2a+3b)(-2a-3b    4)(2a+3b+c)(2a+3b-c

 

A1       B2        C3         D4

 

()计算

 

1)(-3x+2)(-3x-2           2)(4x-3)(4x+3-x-2(2-x)

 

(三)填一填

 

1)(-x+__(___-2y)= x2-4y2   2(-6m+___)(2n+___)=4n2-36m2

 

(四)小强去商店买了9.8千克的食品,每千克10.2元,售货员正准备拿计算器计算,小强却一口说出了答案,你能像小强那样快速算出答案吗?

 

[设计意图]设计不同形式的问题,考察学生对平方差公式的理解与应用.对学生的学习效果进行检测,给学生自我评价的机会,对“教”与“学”及时反馈.师生一起查漏补缺,扬长避短,自我完善.



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