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[组图]一个折叠问题的辅助线作法探究           ★★★
一个折叠问题的辅助线作法探究

作者:佚名 文章来源:本站原创 点击数: 更新时间:2013-3-12 23:25:57


一个折叠问题的辅助线作法探究
湖北省安陆市洑水中学 王官清

下面一道和直角三角形折叠有关的几何证明题,需要作辅助线构造相似三角形,才能顺利解决。但辅助线的作法比较灵活,通过探究此例辅助线的作法,能够训练思维的灵活性、深刻性,从而提高数学能力。下面从构造相似三角形的角度出发,探究四种辅助线的作法。

 

 如图1RtABC,AB=AC,MAC上,点NBC上,沿MN翻折使点C恰好落在斜边AB上的点P.

 

(1)     PAB中点时,求证: .

 

    (2)  P不是AB中点时,是否仍然成立?若成立,请给出证明。

 

 

析解:(1)如图1, PAB的中点,则PA=PB,要证,所以应证CM=CN.

 

连结CP,由PA=PBCA=CB,得CPAB.

 

可知△CMN与△PMN完全重合, CM=PM,CN=PN.

 

MNCP.(MNPC的垂直平分线)

 

MNAB.

 

==1.

 

,∴.

 

(2)    如图2, 此时仍然成立.

 

如何证明关键是怎么作辅助线,将成比例线段的四条线段集中在一块,利用全等三角形和相似三角形的知识来研究。

 

辅助线一

 

,考虑从线段AB 的内分点PAC的平行线,构造出相似三角形,再从已知分析寻找证明思路。

 

证:如图(2),作PQ//AC,则PQBC,连结PC.

 

PQAC,∴ .

 

PQ=QB,∴.

 

(如果以作为中间比,须证

 

于是从思考△PQC∽△NCM是否成立。)

 

由已知可得PCMNMCCN

 

∴∠CMN=PCQ,∴RtPCQRtNMC.

 

..

 

辅助线二

 

仍然考虑从P出发构造相似三角形和全等三角形。

 

 

证:如图3. PHABPACH,作AQBC,于PN的延长线交于Q,可得

 

       PAQ∽△PBN,.

 

PHABP,∠PAH=45°,∴PA=PH,PHM=PAQ=45°,

 

∵△CMN≌△PMN,MPN=Rt.1+3=2+3=Rt

 

∴∠1=2, ∴△PHM≌△PAQ(ASA) ,∴PQ=PM.

 

.

 

辅助线三

 

可知,PAPM在△PAM中,而PBPN在△PBN中,显然不易证这两三角形相似,于是想办法作辅助线构造一个与△PAM相似的三角形。

 

 

证:作PQ=PNBCQ,如图4. PNQ=PQN,∠PNC与∠PMC互补,∠PMA与∠PMC互补,∠PMA=PQB,又∠A=B=45°,

 

∴△PMA∽△PQB, .

 

PQ=PN成立。

 

PM=PNPN=CN,∴.

 

辅助线四

 

根据以上三种辅助线的作法,不难想到第四种作法。

 

 

证:如图5,作PHACHPGBCG

 

易证RtAHPRtBGP, ,

 

再证RtAHPRtPGN,问题可以得到解决。



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