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[组图]如何设计课堂教学主线           ★★★
如何设计课堂教学主线

作者:佚名 文章来源:人教网 点击数: 更新时间:2015-4-17 22:17:53


如何设计课堂教学主线
人民教育出版社 章建跃

平时观课,发现教学过程零乱无序现象较普遍,没有贯穿课堂始终的教学主线,缺乏有结构的、逻辑关联、层层递进且能启迪学生思维的问题引领,教学的随意性很大,给了学生一笔糊涂账,概念讲不清楚,“思维的教学”更是奢谈。我认为,这是课堂教学效率低、质量差的主要原因。

造成课堂教学缺乏逻辑结构的原因,主要还是教师在“理解数学,理解学生,理解教学”上用功不足,在数学知识的发生发展过程和学生的数学认知过程上缺乏思考,特别是对数学知识的背景、抽象或推理过程缺乏必要的“本源性分析”。我认为,只有对教学内容进行“本源性分析”,并在此基础上构建课堂教学主线,才能使学生在掌握数学知识的过程中,领悟思考方法进而学会学习。

一般而言,课堂教学主线是教师在“理解数学”、“理解学生”的基础上形成的课堂结构和教学线索,其基本表现形式是反映当前数学知识本质、具有逻辑关联性、循序渐进、逐步深入的“问题串”。下面以“二项式定理”的“本源性分析”为例,看看如何构建课堂教学主线。

首先,二项式定理是一个数学公式。归根到底,它是一个多项式乘法问题。

 

所以,多项式乘法法则是推导二项式定理的“本源”之一,由此可以联系到组合数公式而得出每一项的系数。

其次,这是一个特殊的多项式乘法问题。“特殊”在于它的因式都是相同的“二项式”,由此而决定了其展开式的规律性。

第三,因为多项式乘多项式的结果是多项式,所以分析展开式的规律,应从多项式概念的要素出发:项、次数、项数。

第四,对于“项”的规律,关键看结构特征,具体表现在系数、a的次数、b的次数各有什么规律,因此这一分析也包含了展开式各项次数的规律。

第五,如果不合并同类项,那么展开式有2n项,其中有(n+1)类同类项an-kbk(k=012,…,n),所以合并同类项后有(n+1)项。而an-kbk的个数,就是相应的二项式系数,可以根据多项式乘法法则和组合数公式而得到。

上述分析是“理解数学”。下面再看“理解学生”,主要从“认知基础”、“推理过程”和“可能的难点”等方面看。

推导二项式定理,需要的知识有多项式的概念、多项式乘法法则、排列组合的相关知识等;在思想方法上,要有从具体例证中归纳一般结论的意识和能力,要有联系的观点,特别是求二项式系数时,要把求同类项的个数问题转化为组合问题,其关键是明确要完成的“一件事情”是什么;在能力方面,对分析问题的能力、代数推理能力等都有很高的要求。因此,学习二项式定理的主要难点在用联系的观点看问题,把二项式系数的求解化归为组合问题。

二项式定理是数学内部推理的结果。这个推理过程,既有归纳推理,也有演绎推理。归纳推理是从n=234等具体展开式中发现规律、提出猜想,演绎推理是利用数学归纳法证明猜想。教学设计就是要“还原”这个推理过程,在一些关键点上提出适当的问题,引导学生开展推理活动。具体是

背景引入:今天我们要利用排列组合等知识推导一个用途很广的公式——二项式定理,即(a+b)n的展开式。它是我们在初中学过的乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2的推广。

请大家先回顾一下多项式的概念,多项式乘法法则,以及我们是如何推出乘法公式的。

设计意图让学生明确要研究的问题,提取长时记忆中关于多项式乘法的相关概念。

问题1 为了得到二项式定理,我们可以先分析一下n=234时二项式(a+b)n的展开式的共同特征。

1)你能从(a+b)2=a2+2ab+b2出发,得到(a+b)3(a+b)4的展开式吗?

2)根据多项式的概念,你认为应从哪些角度观察三个公式的共同特征?由此你能得到关于(a+b)n展开式的哪些猜想?

3)你能用上述递推方法得到(a+b)n的展开式吗?

设计意图:引导学生有目的地观察、有逻辑地思考,而不是“撞大运”。在概念的指引下,观察多项式的“要素”即项数、次数、项及其系数的规律,这就是“玩概念”的含义。这里,教师要在“项的特征”上加强引导,如每一项的次数都是na的次数从n0降幂排列,b的次数从0n升幂排列等等。

问题2 用上述递推的方法得出展开式的各项系数有困难。能否换个角度看问题呢?

1)对于(a+b)2=a2+2ab+b2,你能抽象出展开式各项的一般形式吗?

预设:估计学生独立得出a2-kbk(k=012)有困难,可以安排一个合作学习,必要时也可以由教师讲解。

2)你能结合多项式乘法的过程,利用组合知识解释ab项的系数为什么等于2吗?

预设:这是本堂课的主要难点所在。教师可以通过如下追问引导学生思考:

追问1 这里要完成的“一件事情”是什么?——得到展开式的ab项。

追问2 如何完成?——根据多项式乘法法则,可以分为两步,先从一个因式中取a,有种取法;再从另一个因式中取b。因为只要a取定,b就唯一取定,所以取法共有种,也即ab的系数是

3)类比上述分析,你能用组合数表示(a+b)2的展开式吗?

4)仿照上述过程,你能推导出(a+b)3(a+b)4的展开式吗?

5)你能得出关于(a+b)n的展开式的猜想吗?你能证明吗?

设计意图:教学主线一定要反映学生的认知规律,这个规律也是与数学公式的归纳过程一致的。从具体到抽象而展开,也就是先对n=234(a+b)n的展开式进行结构分析,发现规律进而归纳出一般结论。对(a+b)2(a+b)3(a+b)4的观察中,最容易得到的规律是展开式的项数、每一项的次数。困难在于项的结构和系数,教师要加强从一般角度看特殊事例的引导,概括各项的共性得出结构an-kbk,这里体现了代数的基本思想——从具体事例中归纳一般结论。系数是最困难的,还是要回到基本概念去,利用多项式乘法概念进行分析:如何得到an-kbk呢?在(a+b)nn个因式中,从(nk)个因式中取a,再从剩下的k个因式中取b,而且只要a取定,b就唯一取定。由此能较容易地想到用组合数公式求系数:要完成的“一件事情”是“得到an-kbk”,因为单项式乘法满足交换律,所以是组合问题,相当于从n个因式中取kb的组合,因此这样的项共有个,这样就得到了展开式的通项

在教学设计时构建好上述教学主线,并结合课堂实施中生成的资源展开教学,才能使学生真正经历公式的探究过程,实现二项式定理的育人价值。

2015-01-29  人教网



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