| 网站首页 | 开放资源 | 会员资源 | 赞助本站 | 请您留言 | 常见问题 | 
 | 如何上传 | 发表文章 | 我要上传 | 免费资源 | 
您现在的位置: 初中数学 >> 开放资源 >> 教育理论 >> 课改理论 >> 文章正文 用户登录 新用户注册
玩动“勾股定理”,体会数学真谛         
玩动“勾股定理”,体会数学真谛

作者:佚名 文章来源:本站原创 点击数: 更新时间:2012-6-10 16:42:49


玩动“勾股定理”,体会数学真谛

勾股定理在几何里具有非常重要的地位,是解三角形的重要基础,也是平面几何的重要基础,其在现实生活中也具有普遍性和应用性。虽然探索勾股定理的方法很多,但寻找一种让学生能够在思维上比较自然地发现该定理的方法是困难的。如何设计勾股定理教学,一直是初中数学教学的一个难点。在探索勾股定理的教学中,碰到一些颇让人回味的教学案例,在反思的同时,更有一些教学感悟和思想油然而生。

〔案例描述〕

案例1:在引入课题之后,教师甲安排了如下的合作学习:

(1) 作三个直角三角形,使其两条直角边长分别为3cm4cm6cm8cm5cm12cm

(2) 分别测量这三个直角三角形斜边的长;

(3) 根据所测量的结果填写下表:

a

b

c

 

 

3

4

 

 

 

6

8

 

 

 

5

12

 

 

 

观察表中后两列的数据。在直角三角形中,三边长之间有什么关系?再任意画一个直角三角形试一试。

教师甲将学生分成4人一小组后开始让他们合作学习,在大部分学生完成以上任务之后,组织学生交流探究成果。

生:我测量得到,它们的斜边长分别是5cm10cm13cm.

师:你能发现三边的关系吗?

生乙(马上) a2+b2=c2

师:很好,这种关系在几何上称为是勾股定理,你能用文字表述吗?.

……

A

C

a

b

c

S1

S2

S3

应用举例
   
Rt△ABC,∠C=90°
    (1)
已知a=6,c=10,b,(2)已知a=40,b=9,c; (3)已知c=25,b=15,a.
   
2(古题欣赏)今有池,方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深几何?
   
已知:等边△ABC的边长为6cm.
   
:(1)AD的长;(2)△ABC的面积.
   
靠墙放一长为2.5米的梯子,梯子的底端距墙根0.7米。由于打滑,梯子的顶部下滑了40cm,试问梯子的底端将滑出多少?
(
思考题)1、一个长方形的箱子的三条棱长分别是30cm40cm50cm,试问能否容下一根70cm的木棒?探讨一下,说明道理。
   2. 
如图,直角三角形三边上的半圆面积

之间关系为         

 学生收获感言。课堂小结

案例2

1、   引入探究

(1)   在方格纸上三角形ABC,画一个以AC为一边

的正方形,画一个以BC为边的正方形;再求出这

两个正方形的面积。(如图1--1)
怎样画以AB为边的正方形呢?    教师巡视

请同学们思考:AB为边的正方形的另两个顶点是不是格点?为什么?(学生思考、叙述,教师补充)
2)如果PQ是两格点,你能快速画出以PQ为一边的正方形吗?试一试! 教师巡视,指导有困难的学生画图
3)思考:怎样求出图1,AB为一边的正方形的面积?
小组讨论  交流思路与方法。展示方法。
3 图中,三个正方形的面积有什么关系?换成其他数据试试?

(两直角边为3412
2
、定理探索
1)针对上述图形,考察各直角三角形周围的三个正方形的面积之间的关系。
 学生
独立操作,教师巡视. 学生发表观点

2)由此你能说出这些直角三角形三边之间的关系吗?
 3
、小结:这就是在数学史上具有里程碑意义、非常著名的勾股定理,:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方. (简介勾股定理的历史及我国古代数学家对勾股定理的贡献)

4、这仅仅是在几个直角三角形(有具体数值)中发现的,在任意一个直角三角形(斜边为c、两直角边为ab)中是否仍成立(a +b =c )? 在网格中画一个一般三角形试试?

也有类似关系吗?学生画图,猜测。
5
、用课前准备好的四个全等的直角三角形在桌面上拼图,

围成一个正方形可以吗?
 
学生动手操作,教师巡视 

学生自由上台展示  

 选择其中两个图验证勾股定理
 学生
思考、演算、发表观点、得到论证。

提供另一种证法。

如图,把火柴盒放倒,在这个过程中,也能验证勾股定理,你能利用这个图验证勾股定理吗?把你的想法与大家交流一下。

5、小结:至此,我们已用两种方法证明了勾股定理,

从勾股定理的发现到今,已有了400多种证明方法,同学们课后有兴趣可查阅有关资料.
6
、作业:查阅有关资料,至少要找到两种自己可以接受的证明勾股定理的方法  

 

一、两个案例带来的困惑:

从案例1的过程来看,学生似乎也经历了合作探索的过程,学生的活动也很多,有作图、测量、填表、计算、归纳、验证、交流,一节课上也有对勾股定理的大量练习,课堂密度大,学生的思维训练足,学生的基础知识很扎实。但反思其中,总觉得这些活动都缺乏思考的力度,整个过程是在教师预设的轨道上进行,是一种典型的假探究,是一种浅层次上的合作。而在例题教学中,只是一种对勾股定理的机械掌握,一种典型的应试教法,让人感觉缺乏味道。而案例2中通过画图,求面积、归纳,用全等直角三角形、拼图,观察、思考、计算图形面积、归纳,费时、费力,只是为了探究勾股定理,而完全没有勾股定理的应用,这又有必要吗?

二、思考:

1、有效的数学活动不能单纯地依赖于模仿与记忆,学生学习数学的重要方式是动手实践、自主探索与合作交流,以促进学生自主、全面、可持续发展。数学教学是数学活动的教学,是师生之间、学生之间相互交往、积极互动、共同发展的过程,是“沟通”与“合作”的过程。方案1虽然看似内容充实,学生掌握较好,然而这种教学方式只是教学生学会勾股定理,会用定理解题,缺乏对学生学习数学的方法和学习兴趣的培养,无法欣赏到数学的美,久而久之,学生就会丧失对数学的兴趣。

2、方案2让学生充分经历了定理的产生过程,充分呈现知识发生、发展的过程,理念非常新,一改勾股定理教学的传统面孔,使人耳目一新.但如此费时费力,意义何在? 我认为在活动中获取知识,在培养学生的探究能力和自主学习的习惯上是有效的,判断课堂活动的合理性和必要性,应以学生是否获得"实效"为标准,这里的"实效"应包括:活动情境催化了新知识的产生,通过活动促进了新知识的发展,活动启迪了学生的思维,活动为教学难点突破搭建了台阶,活动丰富了学生数学(思维)内涵和素养. 这种方案从具体个例的研究,通过不完全归纳获得猜想,再用传统方法予以证明, 让学生充分经历知识发生、发展的过程,学生的活动操作性强,思维含量高.因此,我认为是可行的,有效的,经历了案例中这一系列的活动、归纳、猜想及证明,构建成勾股定理,只要每一步、每一环都是实实在在且有效, 调动了学生的各种感觉器官,学生兴趣高涨,记忆深刻,内容已够丰富.定理的应用完全可在下一节课进行,本节课就作为数学活动课又何妨?

3、勾股定理是一个非常重要而又非常美的定理,体现在它的古老性和方法的多样性,在定理的推导中体现出各种数学思想、数学知识的应用,而它在生活中的应用又如此的广泛。因而对定理的教学不应只是停留在知识的表面。认真体会方案2的教学过程,总有一种感动,一种流连忘返的感觉,在数学教学上,当碰到一个真正触及到数学灵魂的内容时,要停下匆匆的脚步,认真感悟一下,欣赏一下,感动一下,这样你的头脑中会留下很多沉淀,当类似的情况今后在发生时,你的沉淀会被迅速激活,所以你的思路大开,便多了很多帮手,这就是为什么很多学习好的人总会有灵光闪现,思路大开,靠的是在欣赏美的过程中去自我探究,自我体会,使得自己在头脑中不断沉淀。学生在课堂上享受探索勾股定理成功的喜悦,并欣赏设计图形的“形”之美。使得学生在学习数学过程中能用心去体会其中数学的美。
   4.
鼓励学生动手实践、自主探究、合作交流等已成为现代中学生学习数学的重要方式。看着同学们一张张认真的脸,听着他们一句句发自内心的表达,我感到很高兴。大家都深深体会到一种探索成功之快感。学生的潜力是无穷的,只要做老师的你敢于“权力下放”,做好一位组织者、引导者与合作者,给学生提供从事数学活动的机会,加强学生之间的合作与交流,让他们自己去讨论、去评价、去小结,让他们多一点思考的时间、多一点活动的余地、多一点表现自我的机会、多一点体会成功的愉悦,让他们真正成为学习的主人,让他们很乐意地投入到现实的、探索性的数学活动中去,你就会收到意想不到的效果,得到更多的惊喜,享受无限的快乐,这也就是数学学习的真谛所在!

 



尊敬的来宾:您现在的访问的是初中数学资源(
www.1230.org)综合开放资源页面,该栏目资源主要来自网友上传和网上搜集,如果在质量和数量上不能满足您的要求,请访问本站历时五年精心打造的会员资源,同时也希望您积极上传资料参与本站资源建设,方便他人,也方便自己。
本站资源有多种来源,如果某份资料侵犯您的版权或者其他利益,请来信说明,本站定第一时间删除并向您表达歉意。 (请牢记本站的永久域名:www.1230.org
文章录入:伟华1972    责任编辑:刀刀 
  • 上一篇文章:

  • 下一篇文章:
  • 【字体: 】【发表评论】【加入收藏】【告诉好友】【打印此文】【关闭窗口

     

    网友评论:(只显示最新10条。评论内容只代表网友观点,与本站立场无关!)