一、课题  §2.10有理数的乘方（1）

二、教学目标

1．理解有理数乘方的概念，掌握有理数乘方的运算；

2．培养学生的观察、比较、分析、归纳、概括能力，以及学生的探索精神；

3．渗透分类讨论思想．

三、教学重点和难点

重点：有理数乘方的运算．

难点：有理数乘方运算的符号法则．

四、教学手段

现代课堂教学手段

五、教学方法

启发式教学

六、教学过程

（一）、从学生原有认知结构提出问题

在小学我们已经学习过a·a，记作a²，读作a的平方(或a的二次方)；a·a·a记作a³，读作a的立方(或a的三次方)；那么，a·a·a·a

(n是正整数)呢？

在小学对于字母a我们只能取正数．进入中学后，我们学习了有理数，那么a还可以取哪些数呢？请举例说明．

（二）、讲授新课

1．求n个相同因数的积的运算叫做乘方．

2．乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数．

一般地，在aⁿ中，a取任意有理数，n取正整数．

应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果．当aⁿ看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．

3．我们知道，乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，aⁿ就是表示n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算．

例1  计算：

教师指出：2就是2¹，指数1通常不写．让三个学生在黑板上计算．

引导学生观察、比较、分析这三组计算题中，底数、指数和幂之间有什么关系？

(1)横向观察

正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；零的任何次幂都是零．

(2)纵向观察

互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等．

(3)任何一个数的偶次幂是什么数？

任何一个数的偶次幂都是非负数．

你能把上述的结论用数学符号语言表示吗？

当a＞0时，aⁿ＞0(n是正整数)；

当a=0时，aⁿ=0(n是正整数)．

(以上为有理数乘方运算的符号法则)

a²ⁿ=(-a)²ⁿ(n是正整数)；

a^2n-1=-(-a)^2n-1(n是正整数)；

a²ⁿ≥0(a是有理数，n是正整数)．

例2  计算：

(1)(-3)²，(-3)³，［-(-3)］⁵；

(2)-3²，-3³，-(-3)⁵；

让三个学生在黑板上计算．

教师引导学生纵向观察第(1)题和第(2)题的形式和计算结果，让学生自己体会到，(-a)ⁿ的底数是-a，表示n个(-a)相乘，-aⁿ是aⁿ的相反数，这是(-a)ⁿ与-aⁿ的区别．

教师引导学生横向观察第(3)题的形式和计算结果，让学生自己体会到，写分数的乘方时要加括号，不然就是另一种运算了．

课堂练习

计算：

(2)(-1)²⁰⁰¹，3×2²，-4²×(-4)²，-2³÷(-2)³；

(3)(-1)ⁿ-1．

（三）、小结

让学生回忆，做出小结：

1．乘方的有关概念．2．乘方的符号法则．3．括号的作用．

七、练习设计

3．当a=-3，b=-5，c=4时，求下列各代数式的值：

(1)(a+b)²；  (2)a²-b²+c²；

(3)(-a+b-c)²；  (4)a²+2ab+b²．

4．当a是负数时，判断下列各式是否成立．

(1)a²=(-a)²；  (2)a³=(-a)³；

5^*．平方得9的数有几个？是什么？有没有平方得-9的有理数？为什么？

6^*．若(a+1)²+|b-2|=0，求a²⁰⁰⁰·b³的值．

八、板书设计

九、教学后记

1．数学教学的重要目的是发展智力，提高能力，而发展智力、提高能力的核心是发展学生的思维能力．教学中，既要注重逻辑推理能力的培养，又重注重观察、归纳等合情推理能力的培养．因此，根据教学内容和学生的认知水平，我们再一次把培养学生的观察、归纳等能力列入了教学目标．

2．数学发展的历史告诉我们，数学的发展是从三个方面前进的：第一是不断的推广；第二是不断的精确化；第三是不断的逼近．在引入新课时，要尽可能使学生的学习方式与数学家的研究方式类似，不断进行推广．a²是由计算正方形面积得到的，a3是由计算正方体的体积得到的，而a⁴，a⁵，…，aⁿ是学生通过类推得到的．

推广后的结果是还要有严密的定义，让学生从更高的观点看自己推广的结果．一般来说，一个概念或一个公式形成后，要对其字母的意义、相互的关系、应用的范围逐项分析．在aⁿ中，a取任意有理数，n取正整数的说明还是必要的，要培养学生这种良好的学习习惯．

3．把学生做巩固性练习和总结运算规律放在一起进行，其效果就远远超出了巩固性练习的初衷．

我们知道，学生必须通过自己的探索才能学会数学和会学数学，与其说学习数学，不如说体验数学、做数学．始终给学生以创造发挥的机会，让学生自己在学习中扮演主动角色，教师不代替学生思考，把重点放在教学情境的设计上．例如，通过实际计算，让学生自己体会到负数与分数的乘方要加括号．

4．有理数的乘方中反映出来的数学思想主要是分类讨论思想，在例1中，精心设计了三组计算题，引导学生从底数大于零、等于零、小于零分析、归纳、概括出有理数乘方的符号法则，使学生在潜移默化中形成分类讨论思想．符号语言的使用，优化了表示分类讨论思想的形式，尤其是负数的奇次幂和偶次幂是大分类中的小分类，用符号语言就更加明显．在练习中让学生完成问题(-1)ⁿ-1，进一步巩固了分类讨论思想，使这种思想得以落实．