| 网站首页 | 开放资源 | 会员资源 | 赞助本站 | 请您留言 | 常见问题 | 
 | 如何上传 | 发表文章 | 我要上传 | 免费资源 | 
您现在的位置: 初中数学 >> 开放资源 >> 免费试题 >> 解题技巧 >> 文章正文 用户登录 新用户注册
[组图]探索规律中一类求和问题的解法           ★★★
探索规律中一类求和问题的解法

作者:佚名 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2016-10-2 22:16:57


探索规律中一类求和问题的解法
山东省枣庄市薛城舜耕中学 李勇

  同学们一定知道德国有一个数学神童,在他十岁时,小学老师出了一道算术难题:计算123+……+100=?. 这可难为初学算术的学生,但是他却在几秒后将答案解了出来,他把数目一对对的凑在一起:1100299398,……,49525051 而这样的组合有50组,所以答案很快的就可以求出是: 101×505050.我想现在同学们一定想起他是谁了吧?他就是德国的大数学家高斯 (Gauss1777-1855),他和阿基米德、牛顿、欧拉并列,有数学王子之称.

有很多题目都与高斯做的这个求和题类似,现在,就让我们来共同探索一下其中的规律.

一、规律总结

如果我们把高斯解的这个题一般化,那就是求1+2+3+……+n的和,把这组和首尾的数字对应相加,就可以得到个(n+1),所以1+2+3+……+n=.

我们还可以假设S=1+2+3+……+n,再倒过来写一遍就是

S=n+(n1)+……+1,两式相加可以得到

2S=n+1+n+1+……+n+1

=nn+1       两边同时除以2

S=   即:1+2+3+……+n=          

用类似的方法我们也可以求出:1+2+3+……+n1=.

上面两个公式同学们可以记住,计算时不妨直接应用,这样我们在探索规律时就可以把主要精力放在思考问题上,而不是花费在复杂的计算上.

  二、典型例题

足球比赛时要进行单循环的淘汰赛,2个球队要进行1场比赛,3个球队要进行3场比赛,4个球队要进行6场比赛,……,n+1个球队要进行多少场比赛?

解析:假设n+1个球队进行的比赛场数为S,则可以得到

球队数       比赛场数

2            1

3            3=1+2

4            6=1+2+3

5           10=1+2+3+4

6           15=1+2+3+4+5

……              ……

  由规律可以得到n+1个球队需要进行的比赛场数为S=1+2+3+……+n=.

在一条直线上有n个点A1A2…… An-1 An.n个点一共可以构成多少条线段?

解析:A1和点A2可以构成线段A1A2,点A1和点A3可以构成线段A1A3,……,点A1和点An可以构成线段A1An,一共是(n1)条;点A2和点A3,点A2和点A4,……,点A2和点An,可以构成的线段一共有(n2)条,依次类推,n个点可以构成的线段有:(n1+n2+……+2+1=.

评注:例1中的球队我们也可以把它看作一个一个线段上的点,按照例2那样用画弧的方法,一边画弧,一边按照例1那样记数,很快就能找到答案的!其实,只要大家能够灵活运用所掌握的方法,探索规律的题目也是很简单的!

我们知道1条可以将一个平面分成2部分,2条直线可以将一个平面分成4部分,3条直线最多可以将一个平面分成7部分,4条直线最多可以将一个平面分成11部分,你能探索出n条直线最多可以将一个平面分成几部分吗?

……

解析:          直线条数         分成的平面部分

                       1                  2=1+1

                       2                  4=(1+2)+1

                       3                  7=(1+2+3)+1

                       4                 11=(1+2+3+4)+1

                      ……                  ……

n                 S=(1+2+3+……+n)+1=+1

如图

  ……

 

图形编号

三角形边数

 

 

 

 

 

 

 

  第n个图形三角形的边数一共有多少?

解析:如果我们把后一个图形看作是在前一个图形的基础上在下面补充几个三角形,那么探索起其中的规律来就很容易得到问题的答案.

图形编号             三角形边数

            3

            9=3+3×2=3×(1+2)

           18=9+3×3=3×(1+2+3)

           30=18+3×4=3×(1+2+3+4)

……                 ……

n              S=3×(1+2+3+……+n)=

以上只是探索规律中求和的一种类型,实际上同学们只要注意总结,善于分类,深入研究,做一个有心人,你一定能够在探索规律中有出色表现的.



尊敬的来宾:您现在的访问的是初中数学资源(
www.1230.org)综合开放资源页面,该栏目资源主要来自网友上传和网上搜集,如果在质量和数量上不能满足您的要求,请访问本站历时五年精心打造的会员资源,同时也希望您积极上传资料参与本站资源建设,方便他人,也方便自己。
本站资源有多种来源,如果某份资料侵犯您的版权或者其他利益,请来信说明,本站定第一时间删除并向您表达歉意。 (请牢记本站的永久域名:www.1230.org
文章录入:刀刀    责任编辑:刀刀 
  • 上一篇文章:

  • 下一篇文章:
  • 【字体: 】【发表评论】【加入收藏】【告诉好友】【打印此文】【关闭窗口

     

    网友评论:(只显示最新10条。评论内容只代表网友观点,与本站立场无关!)