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[组图]形 数           ★★★
形 数

作者:佚名 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2016-10-2 22:17:22


形 数
四川省筠连县第二中学 邓敬

公元前四世纪,古希腊的算术在巴比伦和埃及的基础上,有了很大的发展,他们用石子、沙子记数和计算。在这一时期,对形数的研究达到了一个高峰。

在众多的学派中,毕达哥拉斯学派对形数的研究最为突出,该项研究强烈地反映了他们将数作为几何思维元素的精神,有效地印证了凡物皆数的观点。

那什么是形数呢?即有形状的数。毕达哥拉斯学派研究数的概念时,喜欢把数描绘成沙滩上的小石子,小石子能够摆成不同的几何图形,于是就产生了一系列的形数。

1、三角形数

毕达哥拉斯发现,当小石子的数目是13610等数时,小石子都能摆成正三角形,他把这些数叫做三角形数。如图一12所示:                                         

不难看出,前四个三角形数都是一些连续自然数的和,记每一个三角形数为  i=123n)则:

=1

=1+2=3

=1+2+3=6

=1+2+3+4=10

……………

=1+2+3+…+100=5050

……………

就这样,毕达哥拉斯借助生动的直观的几何图形,很快就发现了自然数的一个规律:从1开始的连续自然数的和都是三角形数。如果用字母n表示最后一个加数,那么1+2+3+…+n的和即是一个三角形数,而且正好是第n个三角形数。 

=1+2+3+…+n=    (n)

[1]:如图二,前3个图形的点的个数分别是多少?第n个图形的点的个数是多少?

解:问,前三个图形的点的个数分别是3610

问,因为361015…等数恰好构成三角形数,记第n个图的点为,则=1+2+3+…+(n+1)=(n+1)=

[2]:古希腊数学家把数136101521…,叫做三角形数,它有一定的规律性,则第24个三角形数与第22个三角形的差为        

解:=1+2+…+24           =1+2+…+22

=23+24=47     故应填:47

2、正方形数

 毕达哥拉斯还发现,当小石子的数目是14916等数时,小石子都能摆成正方形,他把这些数叫正方形数。如图三12所示:

分别记各图所示的小石子个数为 (i=12n)不难发现:a1=1=12

=1+3=4=

=1+3+5=9=

=1+3+5+7=16=

……………

=1+3+5+…+(2n-1)=n=

毕达哥拉斯,通过直观图形把奇数和图形结合起来,得到一个定理:从1开始,任何连续的奇数之和是完全平方数。毕达哥拉斯,还给出了一个定理:两个相邻三角形数之和是正方形数,

     n+1+(n+2)=

[1]:如图四:计算1+3+5+7+9+11+13+15的值

解:观察图知道11+3

1+3+5构成正方形数

……

1=     1+3=    1+3+5=    

=1=    

=1+3=

=1+3+5=

……………

=1+3+5+…+(2n-1)=

=1+3+5+…+15==64

3、长方形数

当小石子的数目是偶数261220等数时,小石子都能摆成长方形,毕达哥拉斯把这些数叫做长方形数(或矩形数)。如图五

分别把每一个长方形数记作: (i=123n)

=2

=2+4=6

=2+4+6=12

=2+4+6+8=20

……………

=2+4+6+8+…+2n = =n(n+1)

即,由序列:N=2+4+6+8+…+2n=n(n+1)   (n)给出的数叫长方形数。每个长方形数都等于某三角形数的2倍。

4、五边形数

当小石子的数目是151222等数时,小石子都能摆成正五边形,毕达哥拉斯把这些数叫做五边形数如图六所示:

分别把每一个五边形数记作: (i=12n)

=1        

=1+4=5

=1+4+7=12

=1+4+7+10=22

……………

=1+4+7+…+(3n-2)=n=

5、六边形数

当石子数目为161528等数时,小石子都能摆成六边形,毕达哥拉斯把这些数叫做六边形数如图七所示:

分别把每个六边形记作 (i=123n)

=1

=1+5=6

=1+5+9=15

=1+5+9+13=28

……………

=1+5+9+13+…+(4n-3)=n=2-n

根据这些规律,人们就可以写出很多很多的形数,毕达哥拉斯学派的学者还通过这一过程,将这种数形结合的思想推广到三维空间去构造多面体数。

[练习] 1如图八所示,前三图中各有多少个三角形?

你能否找出其中的规律,用式子表示第n个图中有多少个三角形?

 [答案]:前三图中各有3610个三角形。

       ∵3610等数恰好构成三角形数,把每一个图形的三角形数记为(i=123n),则

=1+2=3

=1+2+3=6

=1+2+3+4=10

……………

=1+2+3+…+n+1=

[练习] 2、把正方体摆成如图九所示的形状,从上向下数第一层1,个第二层3个,,按这个规律摆放,第五层的正方体个数是:( 

A10    B12   C15    D20

[答案]:经观察:

第一层:=1

第二层:=3

第三层:=6

第四层:=10                                

由此可知,13610属三角形数,

则第五层:=1+2+3+4+5=15

故选C

[练习]3、如图十所示,若以点O为端点的射线有n条,则共组成多少个角?

[答案]:当有1条射线时:有角3=1+2

当有2条射线时:有角6=1+2+3

当有3条射线时:有角10=1+2+3+4

当有4条射线时:有角15=1+2+3+4+5

∵361015…恰好构成三角形数。

当有n条射线时:有角1+2+3+…+n+1=n+1=

[练习]4、某班共有学生m人,在春节期间,每个同学都与其他同学通电话一次来互致新春的祝福,求该班m个同学共通话多少次?

[答案]2人通话       1

       3人通话       3=1+2

4人通话       6=1+2+3

5人通话      10=1+2+3+4

∵13610恰好构成三角形数。

当有m个学生时:通话1+2+3+…+m-1==

[练习]5n条直线两两相交最多有多少个交点?

[答案]:如图十一所示:

∵13610恰好构成三角形数。

∴n条直线两两相交最多交点N=1+2+3+…+n-1=个。[练习]6、已知……,那么图十二中共有多少对平行线?

[答案]:由题意可知,

当有2条平行线时,有平行线的对数为=1

当有3条平行线时,有平行线的对数为=1+2

当有4条平行线时,有平行线的对数为=1+2+3

…………………………………………………………

当有n条平行线时,有平行线的对数为=1+2+3++n-1=

[练习]7、试求n边形的对角线的条数?

[答案]:四边形对角线条数记=2

五边形对角线条数记=2+3=5

六边形对角线条数记=2+3+4=9

七边形对角线条数记=2+3+4+5=14

25914等数加1可得三角形数,所以n边形对角线条数记=2+3+4++n-2= =   n3

[练习]8、用牙签按图十三方式搭图。

问第n个图形有多少根牙签?

[答案]:每一个图牙签根数记为i=123、…、n)则:

=3=3×1

=9=3×3=3×1+2

=18=3×6=3×1+2+3

……………

=3×1+2+3++n=3=



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