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[组图]巧用比例性质,解证比例线段           ★★★
巧用比例性质,解证比例线段

作者:佚名 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2016-10-2 22:22:25


巧用比例性质,解证比例线段
江苏省东台中学实验初中 周礼寅

  比例的三条性质,是相似形中证明比例线段问题的基本依据,若能灵活加以应用,则可减少思维障碍,迅速打开解题突破口。

1        巧用基本性质

   “三点形法”是证明线段等积的最常用也是最有效的方法。它是根据比例的基本性质,将等积式转化为比例式,找出其中包含的几个字母,是否存在可由“三点”定出的两个相似三角形。

    1、如图1,在RtABC中,∠BAC=AB=ACDBC中点,EAC上一点,点GBE上,连结DG并延长交AEF,若∠FGE=,(1)求证:BD·BC=BG·BE;(2)求证:AGBE;(3)若EAC的中点,求EFFD的值。

分析:(1)将待证的等积式化为比例式:,横看:比例式的两个分子为BDE三点,两个分母为BGC三点,均不能构成相似三角形;竖看:比例式左端BDBG构成△BDG,右端BEBC构成△BEC,依“三点形法”只需证△BDG∽△BEC;(2)、(3)分析略。

在运用“三点形法”时,首先要化等积式为比例式,然后再横看看、竖看看,找到相似三角形进而证明。但有时将等积式化为比例式后无法再用“三点形法”,此时还需运用以下三种常用的转化方法进行证明:

1等线段转化法

2、如图2,△ABC中,AB=ACAD是中线,PAD上一点,过点CCFAB,延长BPACE,交CFF,求证:=PE·PF

分析:线段BPPEPF在同一条直线BE上,无法用相似三角形来证明。连结PC,可得BP=PC,故可用PC来替换BP

证明:连结PC

∵△ABC中,AB=ACAD是中线

AP平分∠BAC ,∠BAP=CAP

   ∴△BAP≌△CAP

BP=CP,∠ABP=ACP

又∵CFAB

∴∠ABP=F

∴∠ACP=F

∴△PCF∽△PEC

=PE·PF

BP=CP

=PE·PF

将某线段用与其相等的线段替换,以便能构成相似三角形,这是证明线段比例式和等积式的基本方法之一。

1.等积转化法

3、如图3,在△ABC中,ADBCDDEABEDFACF,求证:AE·AB=AF·AC

    分析:待证结论中的线段虽然能构成△ABC与△AEF,但不能找到相似条件。注意到题目中的垂直关系较多,联系课本中的“母子相似形”这一基本图形的有关结论,可将待证结论转化。

证明:

ADBC DEAB

RtADBRtAED

=AB·AE

  同理,=AF·AC

AE·AB=AF·AC

“母子相似形”这一基本图形是教材中的例题,它的基本结论有如下几个:如图,在RtABCCDABD,则有

  ABC∽△ACD∽△CBD

  =BD·AD

=AD·AB

=BD·AB

CD·AB= BC·AC

要特别注意这些结论的灵活运用。

1.等比转化法

4、已知如图4,CDRtABC斜边AB上的高,EBC的中点,ED的延长线交CAF,求证:ACBC=DFCF

    分析:将结论改写为:,横看,分子不能构成两个三角形;竖看,虽依“三点形法”有△ABC与△DCF,但它们显然不相似,只能另寻突破口。注意到“母子相似形”这一重要的基本图形,有,故只需证,即证△FDC∽△FAD

    证明:∵在RtABC中,CDAB

∴∠B=ACD

∵△ACD∽△CBD

    又∵ERtCDBBC的中点

  ∴DE=BE=CE,∠B=EDB=ADF

  ∴△FDC∽△FAD

   ∴

    ∴   ACBC=DFCF

以上几种方法都是利用比例的基本性质对待证结论进行的等价转化,这种转化是相似形中最常用的一种变形。

2        巧用合比性质

    当待证结论经转化后,其形式与合比性质相似,这时应再次运用合比性质将结论进一步转化,直至找到相似三角形。

5、已知如图5,在△ABC中,AD为∠BAC的角平分线,EFAD的垂直平分线且交ABE,交BC的延长线于F,求证:DC·DF=BD·CF

分析:欲证:DC·DF=BD·CF

即证:

即证:

若连结AF,则AF=DF

故即证:

只需证△FAB∽△FCA

证明:

连结AF,则AF=DF,∠FAD=FDA

AD平分∠BAC

∴∠BAD=CAD

又∵∠FAD=CAD+CAF,∠FDA=B+BAD

∴∠B=CAF

∴△FAB∽△FCA,以下证明略。

3        巧用等比性质

6、如图6I是△ABC三个内角平分线的交点,AI交对边于D,求证:

分析:观察等式右边,可用合比性质或等比性质转化。但若用合比性质进行转化,左边不易转化,故考虑用等比性质转化待证结论。

欲证:

即证:

由于BICI分别平分∠ABC、∠ACB

故有:

由等比性质,得证。

注:本题证明过程中应用了角平分线的性质,即如图7,若AD平分∠BAC,则

(7)

 
相似三角形中比例线段的证明方法很多,也很灵活。我们只有在平时学习中主动探究,合作交流,注重总结,举一反三,这样才能真正做数学学习的主人。



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