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[组图]一元二次方程根的判别式的综合应用           ★★★
一元二次方程根的判别式的综合应用

作者:佚名 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2016-10-2 22:33:40


一元二次方程根的判别式的综合应用
四川省武胜县中心镇小学初中部 曹建局

  一、知识要点:

 

1.  一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式Δ=b2-4ac

 

定理1  ax2+bx+c=0(a0)中,Δ>0方程有两个不等实数根.

 

  定理2  ax2+bx+c=0(a0)中,Δ=0方程有两个相等实数根.

 

  定理3  ax2+bx+c=0(a0)中,Δ<0方程没有实数根.

 

  2根的判别式逆用(注意:根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。

 

  定理4  ax2+bx+c=0(a0)中,方程有两个不等实数根Δ>0.

 

  定理5  ax2+bx+c=0(a0)中,方程有两个相等实数根Δ=0.

 

  定理6  ax2+bx+c=0(a0)中,方程没有实数根Δ<0.

 

  注意:(1)再次强调:根的判别式是指Δ=b2-4ac。(2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值(3)如果说方程有实数根,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号(4)根的判别式b2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件a≠0.

 

  二.根的判别式有以下应用:

 

  不解一元二次方程,判断根的情况。

 

例1.  不解方程,判断下列方程的根的情况:

 

(1)         2x2+3x-4=0 (2)ax2+bx=0(a≠0)

    

   解:(1) 2x2+3x-4=0

 

      a=2, b=3, c=-4,

 

     ∵Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0

 

  ∴方程有两个不相等的实数根。

 

   (2)a0, ∴方程是一元二次方程,此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程,将常数项视为零,

 

    ∵Δ=(-b)2-4·a·0=b2,

 

     ∵无论b取任何关数,b2均为非负数,

 

     ∴Δ≥0,  故方程有两个实数根。

 

 ②  根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。

 

  例2.k的何值时?关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根;

 

分析:由判别式定理的逆定理可知(1)Δ0;(2)Δ=0;(3)Δ0

 

  解:Δ=(-4)2-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k

 

  (1)∵方程有两个不相等的实数根,

 

   ∴Δ0,即36-4k0.解得k9

 

   (2)∵方程有两个不相等的实数根,

 

     ∴Δ=0,即36-4k=0.解得k=9

 

  (3)∵方程有两个不相等的实数根,

 

  ∴Δ<0,即36-4k<0.解得k>9

 

  证明字母系数方程有实数根或无实数根。

 

  例3.求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。

 

  分析:先求出关于x的方程的根的判别式,然后只需说明判别式是一个负数,就证明了该方程没有实数根。

 

  证明:  Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)

 

   =4m2-4(m4+5m2+4)

 

   =-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)

 

   =-4(m2+2)2

 

  ∵不论m取任何实数(m2+2)2>0,

 

  ∴ -4(m2+2)2<0, 即Δ<0.

 

  ∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。

 

  小结:由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤:

 

  (1)计算Δ(2)用配方法将Δ恒等变形(3)判断Δ的符号(4)结论.其中难点是Δ的恒等变形,一般情况下配方后变形后为形如:a2,a2+2,(a2+2)2, -a2, -(a2+2)2的代数式,从而判定正负,非负等情况。

 

  应用根的判别式判断三角形的形状。

 

  例4.已知:a、b、c为ΔABC的三边,当m>0时,关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有两个相等的实数根。求证ΔABC为RtΔ。

 

  证明:整理原方程:

 

  方程c(x2+m)+b(x2-m)- 2ax =0.

 

  整理方程得:cx2+cm+bx2-bm-2ax =0

 

  (c+b)x2-2ax +cm-bm=0

 

  根据题意:

 

  ∵方程有两个相等的实数根,

 

  ∴Δ=(-2a)2-4(c+b)(cm-bm)=0

 

   4ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0

 

   ma2-c2m+b2m=0

 

  ∴Δ=m(a2+b2-c2)=0

 

  又∵ m>0,  ∴a2+b2-c2=0  ∴a2+b2=c2  又∵a,b,c为ΔABC的三边,  ∴ΔABC为RtΔ。

 

   判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式

 

例5、(1)若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是( );

 

  (2)若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是();


 分析:可以令二次三项等于0,若二次三项是完全平方式,则方程有两个相等的实数根。即Δ=0

 

解:(1)令16a2+ka+1=0

 

    ∵方程有两个相等的实数根,

 

∴Δ=k2-4×16×25=0

 

∴k=+40或者-40

 

(2)令ka2+4a+15=0

 

    ∵方程有两个相等的实数根,∴Δ=16-4k=0  ∴k=4

 

  可以判断抛物线与直线有无公共点

 

6:当m取什么值时,抛物线与直线y=x2m只有一个公共点?

 

:列方程组消去y并整理得x2+x-m-1=0

 

   ,∵抛物线与直线只有一个交点,

 

∴Δ=0,即 4m+5=0          

 

(  说明:直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。)

 

  可以判断抛物线与x轴有几个交点

 

分析:抛物线y=ax2+bx+cx轴的交点  (1)当y=0时,即有ax2+bx+c=0,要求x的值,需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可见,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况确定的,而决定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况的,是它的判别式的符号,因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形:  

  ①  时,抛物线与x轴有两个交点,若此时一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2,则抛物线与x轴的两个交点坐标为(x1,0)(x2,0)。   

 ②当时,抛物线与x轴有唯一交点,此时的交点就是抛物线的顶点,其坐标是()。   

 ③当 时,抛物线与x轴没有交点。

 

  例7、判定下列抛物线与x轴交点的个数:

 

    (1)   (2)    (3)

 

    解:(1)Δ16-12=4>0    ∴抛物线与x轴有两个交点。

 

         (2)Δ=36-36=0      ∴抛物线与x轴只有一个公共点。

 

         (3)Δ=4-16=-12<0   ∴抛物线与x轴无公共点。

 

  例8、已知抛物线

 

    (1)当m取什么值时,抛物线和x轴有两个公共点?

 

    (2)当m取什么值时,抛物线和x轴只有一个公共点?并求出这个公共点的坐标。

 

    (3)当m取什么值时,抛物线和x轴没有公共点?

 

  解:令y=0,则   Δ4-4(m-1)= -4m+8

 

      (1)∵抛物线与x轴有两个公共点, ∴Δ>0,即 – 4m+8>0       m<2

 

      (2)∵抛物线和x轴只有一个公共点, ∴Δ=0,即 –4m+8=0    m=2

 

          m=2时,方程可化为,解得x1=x2= -1,∴抛物线与x轴公共点坐标为(-1,0)。

 

      (3)∵抛物线与x轴没有公共点, ∴Δ<0,即 -4m+8<0, ∴m>2

 

       m>2时,抛物线与x轴没有公共点。

 

  利用根的判别式解有关抛物线Δ>0)与x轴两交点间的距离的问题.

 

  分析:抛物线 Δ>0)与x轴两交点间的距离,是对应的一元二次方程 的两根差的绝对值。它有以下表示方法:

 

    9: 求当a为何值时?二次函数 图象与x轴的两个交点间的距离是3

 

    解:y=0,得方程,设这个一元二次方程的两根分别为x1x2,则 由 得,即。进而得  ∴a=a=    ∴当时,图象与x轴两个交点间的距离是3



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