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从中考压轴题看“字母表示数”的教学         ★★★
从中考压轴题看“字母表示数”的教学

作者:佚名 文章来源:本站原创 点击数: 更新时间:2010-5-4 23:45:29


从中考压轴题看“字母表示数”的教学


摘要:

从中考压轴题看“字母表示数”的教学
【内容摘要】04、05佛山市中考压轴题,都体现了字母表示数的思想方法。然而学生的完成情况却与这一内容的重要性不成比例:2004年压轴题南海区考生中一人全对,人均得分0.71,2005年压轴题全对的占考生人数的1%,,10分以上的人数占总考生人数的6%,满分11分的题平均得分1.62。原因之一是在日常教学中,重视教材中公式、法则的熟练应用,重视解题的格式,忽视学生参与教学过程、内化知识的过程,忽视知识之间的内在联系,学习数学所必需的思考、反思与交流。把训练等同于教学,把训练当作课堂中的主要行为。结果是学生思维的灵活性渐渐在降低,对外在事物的敏感性渐渐在淡化,捕捉问题的能力渐渐在弱化,创新也离他们越来越远。
【关键词】基础性、普及性、发展性、参与、内化、捕捉问题、创新
【正文】
    “数学的世界是一个符号化的世界,数学的符号在很大程度上决定了数学发展的进程,符号化思想方法也是数学中最基本,最原始、最重要和最根本的思想方法之一。”历年的中考数学试题,都比较重视对学生这一基本思想的考察。
2004年和2005年佛山市中考数学压轴题,都体现了字母表示数的思想方法。然而学生的完成情况却与这一内容的重要性不成比例:2004年压轴题南海区考生中一人全对,人均得分0.71,2005年压轴题全对的占考生人数的1%,,10分以上的人数占总考生人数的6%,满分11分的题平均得分1.62。
笔者认为,低得分的根本原因不在题目,因为构成这两次中考压轴题都来源于教材,甚至可以说是教材中的原题,下面请看2004年佛山市中考压轴题:
如果正方形的一边落在三角形的一条边上,则这样的正方形叫做三角形的内接正方形。
(1)如图1,在△ABC中,BC=a,BC边上的高AD=ha,EFGH是△ABC的内接正方形。设正方形EFGH的边长是x,求证:  ;
(2)在Rt△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90º。请在图2、图3中分别画出可能的内接正方形,并根据计算回答哪个内接正方形的面积大;
     (3)在锐角△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且a<b<c。请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大?并说明理由。
再看看人教版《几何》第二册第245页的例题:
如图5—31,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120毫米,高AD=80毫米,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少?
可以看出,中考题第(1)题内容与课本例题完全相同,只是把已知条件中具体数字换成了字母,而算法与数值并没两样。
2004年新课标北师大版实验教材八年级下第129页也有类似例题:
如图所示,在等腰三角形ABC中,底边BC=60cm,高AD=40cm,四边形PQRS是正方形。
(1) △ASR与△ABC相似吗?为什么?
(2) 求正方形PQRS的边长。
这类问题出现于不同版本的教材,说明这类问题培养学生分析问题,应用知识解决问题中的重要价值,当时初三的老师也不会没有注意到这一点,只不过平时的练习中,没有想到把已知量换成字母。
   下面是2005年佛山市课改实验区中考压轴题
“三等分角”是数学史上一个著名的问题,但仅用尺规不可能“三等分角”.下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法(如图):将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中,边OB在 轴上、边OA与函数 的图象交于点P,以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作 轴和 轴的平行线,两直线相交于点M ,连接OM得到∠MOB,则∠MOB= ∠AOB.要明白帕普斯的方法,请研究以下问题:
(1)设P(a, )、R(b,  ),求直线OM对应的函数表达式(用含a、b的代数式表示).
(2)分别过点P和R作y轴和x轴的平行线,两直线相交于点Q.请说明Q点在直线OM上,并据此证明∠MOB=  ∠AOB.
(3)应用上述方法得到的结论,你如何三等
分一个钝角(用文字简要说明).
此题可以说就是从北师大《数学》九年级上
册P141“读一读”。对于来自课本的问题为什么
学生竞无法正确解答?那么来自生活的实际问题
呢?为什么学生对解决与数值有相同算法和算理的字母符号运算感到陌生甚至害怕?字母表示数的教学有什么问题呢?
新课标指出:“用字母表示数是数学发展史上的一件大事,是一种重要的数学思想,它使得数学具有简洁的语言,能更普遍地说明数量关系。而通过字母表示数的学习是为了培养学生符号感,为进一步的数学学习打下必要的基础。”
初中数学教学大纲对“字母表示数”的教学要求是:“通过用字母表示数,学习代数式、方程和不等式、函数等,发展对于数量关系的认识和抽象概括的思维,提高运算能力。”
数学课程标准要求学生“能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律,并用符号表示;理解符号所代表的数量关系和变化规律;会进行符号间的转换;能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。”
新课程标准指出:义务教育阶段的数学课程应突出基础性、普及性和发展性,使数学教育面向全体学生,实现:
——人人学有价值的数学;
——人人都能获得必需的数学;


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