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由一道数学竞赛题而引发的思考
作者:佚名  文章来源:网络  点击数  更新时间:2016-10-2 22:35:48  文章录入:刀刀  责任编辑:刀刀

由一道数学竞赛题而引发的思考
安徽省宁国水泥厂 吴忠群

  原题:如图1所示,AOB是单位圆的四分之一,半圆O1的圆心在OA上且与弧AB内切于点A,半圆O2的圆心在OB上且与弧AB内切于点B,半圆O1和半圆O2相外切,设两半圆的半径之和为x,面积之和为y。

 

〈1〉试建立以x为自变量的函数y的解析式;

 

〈2〉求函数y的最小值。

 

(2000年山西省太原市数学竞赛试题)

 

      

 

  解:〈1〉设两圆的半径分别为R、r,由题设可知x = R + r,而y =π(R2 + r2)/2 …(1)

 

  在图1中,显然有(R + r)2 =(1-R)2 +(1 - r)2→x2 = 2-2x + R2 + r2,结合(1)得:y =π(x2 + 2x - 2)/2

 

〈2〉将y =π(x2 + 2x - 2)/2变形为y =π[(x+1)2  - 3]/2  …(2)

 

下面我们来探讨R + r(即x)的取值范围:

 

(i)如图2所示,当R最大(即Rmax=0.5)时,r则最小,此时由勾股定理可得:

 

(0.5 + r)2 =(1-0.5)2  +(1 - r)2→r=1/3 , 即rmin=1/3

 

那么这时所得x=0.5+1/3 =5/6

 

而当r最大(即rmax=0.5)时,R则最小,Rmin=1/3,这和上面所得x的值是一样的,即此时x=5/6;

 

(ii)R=r时,此时由勾股定理可得:(2R)2 =2(1-R)2 →R=

 

那么这时所得x=2(

 

因为5/6大于0.83,而2()小于0.829,所以5/6比2()要大,于是,我们初步判断当x=2()时,函数y取得最小值,那么将x=2()代入解析式(2)就可以得到函数y的最小值ymin=π

 

接下来,我们来证明x的最小值是2():我们已经知道x2 = 2-2x + R2 + r2,再结合r = x- R 可得:R2–xR–xR+1=0,对于这个关于R的二次方程,显然有△≥0,即x2 +4x–4≥0 → (x+2)2 ≥8   →x≥(因为x为非负数),即x的最小值是2()。

 

当然,我们也可以运用比较法来迅速地判断出“x≥”:

 

首先,我们把上面的“R2–xR–xR+1=0”变形为x=(R2 +1)/(R+1)……(Ⅰ)

 

而(R2 +1)/(R+1)-(=[R2 -2R+3-]/(R+1)

 

                                =[R2 -2R+2]/(R+1)

 

                                =[R-]2/(R+1)

 

我们也可以将上述变形作如下处理:

 

(R2 +1)/(R+1)-(=(R2 +2R+1-2R-+2)/(R+1)

 

                                =[(R+12 -2R+1+2]/(R+1)

 

                                =(R+1- 2/(R+1)

 

=[R-]2/(R+1)

 

考虑到(R+1)>0可以知道:[R-(]2/(R+1)≥0,再结合(Ⅰ)可知x-(≥0,即x≥ x

 

解罢本题,不禁引发了我们的以下思考:

 

第一,   如何仅运用直尺(无刻度)和圆规正确地作出图1?

 

第二,   对于本题,函数y是否存在最大值?若存在,则如何求得该最大值?若不存在请说明理由。

 

     针对第一问,笔者给出这样的作图方法:如图3所示,先以O为圆心作出四分之一单位圆OAB,在OB上取适当[ 因为由(i)可知1/3≤r≤1/2]的点O2,以O2为圆心画⊙O2,过O2作OB的垂线交⊙O2于点K,连结AK交⊙O2于点M,则直线O2M与OA的交点就是⊙O1的圆心O1,最后以O1圆心、以A O1(或MO1)长为半径画半圆O1即可。

 

     简单说明:不难知道△O2MK是以O2为顶点的等腰三角形,而△O2MK∽△O1MA,所以我们就知道△O1MA是以O1为顶点的等腰三角形,那么所作出的图形是满足题意的。

 

针对第二问,我们的回答是肯定的。其实,我们从上述解答〈2〉中已经知道x1=5/6及x2=2)是R在两种特殊情况下所取得的x的值,并且又很容易判断出5/6大于2(),而当x=2()时,函数y取得了最小值,那么我们有理由相信当x=5/6时,函数y取得最大值。简证如下:

 

同样,我们把上面的“R2–xR–xR+1=0”变形为x=(R2 +1)/(R+1)……(Ⅰ)

 

因为由(i)可知1/3≤R≤1/2,所以有(2R-1)(3R-1)≤0 →6R2–5R+1≤0 →

 

6+6R2 -5–5R≤0 →6(R2 +1)–5(R+1)≤0 → (R2 +1)/(R+1)≤5/6,结合(Ⅰ)可得:x≤5/6,所以当x=5/6时,函数y取得最大值,于是将x=5/6代入解析式(2)就可以得到函数y的最大值ymax=13π/72

 

另外,关于x≤5/6,我们仍然可以运用比较法来迅速地给出证明:

 

因为(R2 +1)/(R+1)-5/6 =(6R2 -5 R +1)/6(R+1)

 

=(2R-1)(3R-1)/6(R+1)

 

 而由1/3≤R≤1/2可知(2R-1)(3R-1)≤0,而6(R+1)>0,所以我们可以得到:(2R-1)(3R-1)/6(R+1)≤0,结合(Ⅰ)可得:x-5/6≤0,即x≤5/6

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