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相反数和绝对值
作者:佚名  文章来源:网络  点击数  更新时间:2016-10-2 22:37:53  文章录入:刀刀  责任编辑:刀刀

相反数和绝对值
安徽省马鞍山市第七中学 杨厚文

  相反数和绝对值是数学的重要基础概念之一,有着广泛的应用.不少学生在学习时觉得不好理解,应用时经常出问题,下面就和同学们一起学习相反数和绝对值.

 

  【相反数和绝对值知识点归纳总结】

 

  1、   相反数的概念关键要理解“只有符号不同”的含义,规定零的相反数是零;

 

  2、      互为相反数指的是一对数,甲、乙两数互为相反数包括甲是乙的相反数,乙也是甲的相反数;

 

  3、相反数的几何意义:表示互为相反数的两个点(除0外)分别在原点O的两边,并且到原点的距离相等。

 

  4多重符号化简的依据就是相反数的意义,化简的结果是由“-”号的个数来决定的,简称:奇负偶正。

 

  5什么是一个数的绝对值呢?从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离。注意,这里的距离,是以单位长度为度量单位的,是一个非负的量。

 

  6一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零。

 

  7两个负数,绝对值大的反而小。

 

  【用相反数和绝对值解题】

 

  一用相反数和绝对值的概念

 

  例1.(重庆市2005年中考题)  5的相反数是(    )

   A. -5              B. 5       C.              D.

 

  解析:根据相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数,易知本题选A

 

  例2.(绵阳市2005)绝对值为4的实数是

 

   A. ±4                B. 4                C. 4                D. 2

 

  解析:求绝对值等于4的数用绝对值几何定义比较直观,绝对值等于4的整数即在数轴上到原点距离等于4的整数点表示的数,故本题选A

 

  二、用相反数和绝对值的性质特征

 

  例3.(佛山市2005年中考题) 2的绝对值是(    )。

  A2                 B.-2                 C±2                D

 

  解析:由绝对值的特征:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. 所以-2的绝对值是2

 

  例4.(济南市2005年中考题)a2 互为相反数, |a+2|等于(     )

 

  A. 0                B. -2                C.2                D. 4

 

  解析:由相反数的特征若ab两数互为相反数,则ab0,反之也成立.可知a+2=0, 再由绝对值的特征可得本题选A

 

  三.用相反数和绝对值解决实际问题

 

  例5. 质检员抽查某种零件的长度,超过规定长度的记为正数,不足规定长度的记为负数.检查结果如下:第一个为0.13毫米,第二个为-0.2毫米,第三个为-0.1毫米,第四个为0.15毫米,则长度最小的零件是第几个?哪一个零件与规定长度的误差最小?

 

  解析:  |0.2||0.15||0.13||0.1|

 

  ∴长度最小的零件是第二个,与规定长度的误差最小的是第三个.

 

  四.用相反数和绝对值中的数学思想

 

相反数和绝对值的应用十分广泛.因此我们在学习时,不仅应该深入理解概念,掌握特征,灵活运用,还应注意在应用过程中学会思想方法.

 

  1.整体代换

 

  例6. |a-2|2-a,求a的取值范围

 

  解析:根据已知条件等式的结构特征,我们把a-2看作一个整体,那么原式变形为|a-2|-(a-2),又由绝对值概念知a-20,故a的取值范围是a2

 

  2.数形结合

 

  例7.(全国初中数学竞赛试题)x是实数,y|x-1|+|x+1|.下列四个结论:

 

  Ⅰy没有最小值;  Ⅱ 只有一个x使y取到最小值;

 

  Ⅲ 有有限多个x(不只一个)使y取到最小值;

 

  Ⅳ 有无穷多个x使y取到最小值.  其中正确的是 [   ]

 

  A.Ⅰ                B.Ⅱ                C.Ⅲ                D.Ⅳ

 

  解析:我们知道,|x|的几何意义是表示数轴上点x到原点的距离.类似地可知,|x-a|的几何意义是表示数轴上点x到点a的距离.一些有关绝对值的竞赛题,利用上述绝对值的几何意义,借助数形结合,常常会得到妙解. 原问题可转化为求x取那些值时,数轴上点x到点1与点-1的距离之和为最小.

 

 

  从数轴上可知,区间[-11]上的任一点x到点1与点-1的距离之和均为2;区间[-11] 之外的点x 到点1与点-1的距离之和均大于2.所以函数y|x-1|+|x+1|-1x1时,取得最小值2.  故选(D)

 

  3.分类

 

  例8.2003年哈尔滨市中考题)已知|x|3|y|2,且xy0,则xy的值等于( )

 

  A5或-5      B1或-1        C51         D.-5或-1

 

  解析:|x|3|y|2,所以x=±3y=±2,又因为xy0xy异号.

 

 所以有两种情况:1)当x3y=-2时,xy1.

 

             2)当x=-3y2xy=-1.

 

   故选B.

 

  练习:

 

  1.(玉林市2005年中考题)若-m=4,则m=__________.

 

  2. 正式排球比赛,对所使用的排球的重量是有严格规定的。检查5个排球的重量,超过规定重量的克数记作正数,不足规定重量的克数记作负数,检查结果如下表:

+15

-10

+30

-20

-40

  指出哪个排球的质量好一些(即重量最接近规定重量)?你怎样用学过的绝对值知识来说明这个问题?

 

  3. 如图是一个正方体纸盒的侧面展开图,请在其余三个正方形内分别填入适当的数,使得折成正方体后相对面上的两个数互为相反数.则①②③表示的数分别为( )

 

  A.-1,-0.53    B.-0.5,-13    C.-0.53,-1    D3,-0.5,-1

 

      

 

  4(2004年重庆市初中数学竞赛)已知:a、b、c都不等于0,且的最大值为m,最小值为n,则(m+n) 2004=_________.

 

  5. (第二届“创新杯”数学邀请赛)若实数abc在数轴上对应点的位置如图所示, |c|-|b-a|+|b+c|等于(       ).

 

     

 

    (A)-a      (B)-a+2b      (C)-a-2c      (D)a-2b

 

  6(江苏省第十七届初中数学竞赛题)下列说法中,正确的是(    ).

 

A|-a|是正数  B|-a|不是负数  C-|a|是负数  D不是正数

 

  7(2004年全国初中数学联赛试题深圳赛区题)已知都是有理数,且,则是(  c 

 

  A.负数;       B.正数;           C.负数或零;            D.非负数.

 

 

  练习题答案

 

  1.-4

 

  2. 第二只排球质量好一些,利用这些数据的绝对值的大小来判断排球的质量,绝对值越小说明越接近规定重量,因此质量也就好一些。

 

  3.D    4.0     5. c       6. B     7.c

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