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2011年全国各地中考试题压轴题精选讲座八：探究操作性问题

     探索研究是通过对题意的理解，解题过程由简单到难，在承上启下的作用下，引导学生思考新的问题，大胆进行分析、推理和归纳，即从特殊到一般去探究，以特殊去探求一般从而获得结论，有时还要用已学的知识加以论证探求所得结论。操作性问题是让学生按题目要求进行操作，考察学生的动手能力、想象能力和概括能力。
【典型例题】
【例1】（江苏南京）问题情境:已知矩形的面积为 （ 为常数， ＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型:设该矩形的长为 ，周长为 ，则与 的函数关系式为 ．
探索研究:⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数 的图象性质．
① 填写下表，画出函数的图象：
x …… 
  
1 2 3 4 ……
y ……        ……
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数 的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数 (x＞0)的最小值．
解决问题:⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
【思路点拨】⑴将 值代入函类数关系式求出 值, 描点作图即可， 然后分析函数图像。⑵仿⑴对③ 进行配方成二次函数的顶点式，即可解决。
【例2】（湖南岳阳）九 （1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践﹣﹣应用﹣﹣探究的过程：
（1）实践：他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道（如图①）进行测量，测得一隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图②所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式．
（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？
（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述拋物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
I．如图③，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在拋物线上，顶点A、B落在 轴 上．设矩形ABCD的周长为 ，求 的最大值．
II•如图④，过原点作一条 = 的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P 为直线0M上一动点，过P点作 轴的垂线交抛物线于点Q．问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）利用顶点式求解。（2）可得当 =2时，正好是两辆汽车的宽度。（3）I．首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出。II．利用等腰直角三角形的性质，以及P在 = 的图象上，即可得出P点的坐标。

【例3】（湖南株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛
物线 的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原
点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
（1）若测得OA=OB= （如图1），求 的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点 旋转到如图2所示位置时，过B作 轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点 的横坐标；
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点