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2016年各地中考数学解析版试卷分类汇编(第二期):专题39 开放性问题

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资料类别: 试题练习
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2016年各地中考数学解析版试卷分类汇编(第二期):专题39 开放性问题
HE,
在Rt△AEH和Rt△CDH中,∠CHD=∠AHE,
∴∠EAH=∠DCH,
∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE,
所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB;
根据ASA添加AE=CE.
可证△AEH≌△CEB.
故填空答案:AH=CB或EH=EB或AE=CE.
三.解答题
1.(2016•山东省滨州市•14分)如图,已知抛物线y=﹣ x2﹣ x+2与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)点E是此抛物线上的点,点F是其对称轴上的点,求以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积;
(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM是等腰三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
 
【考点】二次函数综合题.
【专题】压轴题;函数及其图象.[来源:学_科_网]
【分析】(1)分别令y=0,x=0,即可解决问题.
(2)由图象可知AB只能为平行四边形的边,易知 点E坐标(﹣7,﹣ )或(5,﹣ ),由此不难解决问题.
(3)分A、C、M为顶点三种情形讨论,分别求解即可解决问题.
【解答】解:(1)令y=0得﹣ x2﹣ x+2=0,
∴x2+2x﹣8=0,
x=﹣4或2,
∴点A坐标(2,0),点B坐标(﹣4,0),
令x=0,得y=2,∴点C坐标(0,2).
(2)由图象可知AB只能为平行四边形的边,
∵AB=EF=6,对称轴x=﹣1,
∴点E的横坐标为﹣7或5,
∴点E坐标(﹣7,﹣ )或(5,﹣ ),此时点F(﹣1,﹣ ),
∴以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积=6× = .
(3)如图所示,①当C为顶点时,CM1=CA,CM2=CA,作M1N⊥OC于N,
在RT△CM1N中,CN= = ,
∴点M1坐标(﹣1,2+ ),点M2坐标(﹣1,2﹣ ).
②当M3为顶点时,∵直线AC解析式为y=﹣x+1,
线段AC的垂直平分线为y=x,
∴点M3坐标为(﹣1,﹣1).
③当点A为顶点的等腰三角形不存在.
综上所述点M坐标为(﹣1,﹣1)或(﹣1,2+ )或(﹣1.2﹣ ).
 
【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法,学会分类讨论的思想,属于中考压轴题.
2.(2016•四川攀枝花)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3)
(1)求抛物线的解析式;[来源:学科网]
(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积.
(3)直线l经过A、C两点,点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动,直线m经过点B和点Q,是否存在直线m,使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y 轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的解析式,若不存在,请说明理由.
 
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)由B、C两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式;
(2)连接BC,则△ABC的面积是不变的,过P作PM∥y轴,交BC于点M,设出P点坐标,可表示出PM的长,可知当PM取最大值时△PBC的面积最大,利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积;
(3)设直线m与y轴交于点N,交直线l于点G,由于∠AGP=∠GNC+∠GCN ,所以当△AGB和△NGC相似时,必有∠AGB=∠CGB= 90°,则可证得△AOC≌△NOB,可求得ON的长,可求出N点坐标,利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式.
【解 答】解:
(1)把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得 ,解得 ,
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)如图1,连接BC,过Py轴的平行线,交BC于点M,交x轴于点H,
 
在y=x2﹣2x﹣3中,令y=0可得0=x2﹣2x﹣3,解得x=﹣1或x=3,
∴A点坐标为(﹣1,0),
∴AB=3﹣(﹣1)=4,且OC=3,[来源:学,科,网]
∴S△ABC= AB•OC= ×4×3=6,
∵B(3,0),C(0,﹣3),
∴直线BC解析式为y=x﹣3,
设P点坐标为(x,x2﹣2x﹣3),则M点坐标为(x,x﹣3),
∵P点在第四限,
∴PM=x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x,
∴S△PBC= PM•OH+ PM•HB= PM•(OH+HB)= PM•OB= PM,
∴当PM有最大值时,△PBC的面积最大,则四边形ABPC的面积最大,
∵PM=﹣x2+3x=﹣(x﹣ )2+ ,
∴当x= 时,PMmax= ,则S△PBC= × = ,
此时P点坐标为( ,﹣ ),S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+ = ,
即当P点坐标为( ,﹣ )时,四边形ABPC的面积最大,最大面积为 ;
(3)如图2,设直线m交y轴于点N,交直线l于点G,
 
则∠AGP=∠GNC +∠GCN,
当△AGB和△NGC相似时,必有∠AGB=∠CGB,
又∠AGB+∠CGB=180°,
∴∠AGB=∠CGB=90°,
∴∠ACO=∠OBN,
在Rt△AON和Rt△NOB中
 
∴Rt△AON≌Rt△NOB(ASA),
∴ON=OA=1,
∴N点坐标为(0,﹣1),
设直线m解析式为y=kx+d,把B、N两点坐标代入可得 ,解得 ,
∴直线m解析式为y= x﹣1,
即存在满足条件的直线m,其解析式为y= x﹣1.
【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及知识点有待定系数法、二次函数的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质等.在(2)中确定出PM的值最时四边形ABPC的面积最大是解题的关键,在(3)中确定出满足条件的直线m的位置是解题的关键. 本题考
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