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2012年浙江省宁波市余姚中学自主招生数学模拟试卷2份解析版

文件大小: 577 K
资料类别: 试题练习
开 发 商: 佚名
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A.4cm2 B.6cm2 C.8cm2 D.12cm2
【分析】首先过点A作AF⊥BC于F,交MN于K,设EM与DN相交于O,过点O作GH⊥BC于H,交MN于G,首先利用等腰三角形的性质,求得△ABC的高AF的值,然后由题意可得MN是△ABC的中位线,根据中位线的性质,可得MN∥BC,MN= BC,继而可判定△OMN∽△OED,根据相似三角形对应高的比等于相似比,即可求得OH的值,然后求得阴影部分的面积.
【解答】解:过点A作AF⊥BC于F,交MN于K,设EM与DN相交于O,过点O作GH⊥BC于H,交MN于G,
∵AB=AC,
∴BF=CF= BC= ×16=8(cm),
在Rt△ABF中,AF= = =6(cm),
∵M、N分别是AB,AC的中点,
∴MN是中位线,
∴MN∥BC,MN= BC= ×16=8(cm),
∴AK=FK= AF=3(cm),
∴NM=DE=8cm,GH⊥MN,
∵MN∥BC,
∴△OMN∽△OED,
∴OG:OH=MN:DE=1,
∴OH= GH= (cm),
∴S阴影= DE•GH= ×8× =6(cm2).
故选B.
 
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识.此题难度适中,解题的关键是准确作出辅助线,利用数形结合思想求解.
 
4.(4分)(2012•余姚市校级自主招生)函数y=a|x|与y=x+a的图象恰有两个公共点,则实数a的取值范围是(  )
A.a>1 B.﹣1<a<1 C.a≥1或a≤﹣1 D.a>1或a<﹣1
【分析】画图象用数形结合解题,y=a|x|的图在x轴上过原点是折线,关于y轴对称;a>0时,y=x+a斜率为1,与y=a|x|交于第一、二象限,a<0时,y=x+a斜率为1,与y=a|x|交于第三、四象限,分析图象可得答案.
【解答】解:根据题意,y=a|x|的图在x轴上过原点是折线,关于y轴对称;
分两种情况讨论,①a>0时,过第一、二象限,y=x+a斜率为1,a>0时,过第一、二、三象限,若使其图象恰有两个公共点,必有a>1;
②a<0时,y=a|x|过第三、四象限;而y=x+a过第二、三、四象限;若使其图象恰有两个公共点,必有a<﹣1;
故答案为D.
【点评】本题要求利用图象求解各问题,先画函数图象,根据图象观察,得出结论.
 
5.(4分)(2012•余姚市校级自主招生)如图,反比例函数y=﹣ (x>0)图象经过矩形OABC边AB的中点E,交边BC于F点,连接EF、OE、OF,则△OEF的面积是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【分析】连接OB.首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义,得出S△AOE=S△COF=1.5,然后由三角形任意一边的中线将三角形的面积二等分及矩形的对角线将矩形的面积二等分,得出F是BC的中点,则S△BEF= S△OCF=0.75,最后由S△OEF=S矩形AOCB﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF,得出结果.
【解答】解:连接OB.
∵E、F是反比例函数y=﹣ (x>0)图象上的点,EA⊥x轴于A,FC⊥y轴于C,
∴S△AOE=S△COF=1.5.
∵矩形OABC边AB的中点是E,
∴S△BOE=S△AOE=1.5,S△BOC=S△AOB=3,
∴S△BOF=S△BOC﹣S△COF=3﹣1.5=1.5,
∴F是BC的中点.
∴S△OEF=S矩形AOCB﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF=6﹣1.5﹣1.5﹣0.5×1.5= .
故选B.
 
【点评】本题主要考查反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系,即S= |k|.得出点F为BC的中点是解决本题的关键.
 
6.(4分)(2012•余姚市校级自主招生)若 ,x>1,y>0,且满足 ,则x+y的值为(  )
A.1 B.2 C.  D.
【分析】先根据xy=xy, =x3y,得出x2=x4y,求出y的值,再把y的值代入任意一个代数式即可求出x的值.
【解答】解:∵xy=xy, =x3y,
∴xy• =xy•x3y,即x2=x4y,
∴4y=2,解得y= ,
把y= 代入xy=xy得, x= ,即x=2 ,两边平方得,x2=4x,
∵x>1,
∴x=4,
∴x+y=4+ = .
故选C.
【点评】本题考查的幂的乘方与积的乘方,根据题意把两式相乘求出y的值是解答此题的关键.
 
7.(4分)(2012•余姚市校级自主招生)如图,AB是半圆的直径,点C是弧AB的中点,点E是弧AC的中点,连接EB,CA交于点F,则 =(  )
 
A.  B.  C.1﹣  D.
【分析】根据平行线的性质证得,△ADE是等腰直角三角形,求得BE= +1,再证△AEF∽△BEA,得EF= = ﹣1,BF=2.所以 = .
【解答】解:方法1:连接AE、CE.作AD∥CE,交BE于D.
∵点E是弧AC的中点,
∴可设AE=CE=1,
根据平行线的性质得∠ADE=∠CED=45°.
∴△ADE是等腰直角三角形,
则AD= ,BD=AD= .
所以BE= +1.
再根据两角对应相等得△AEF∽△BEA,
则EF= = ﹣1,BF=2.
所以 = .
方法2:过点C作CO⊥AB于点O,
∵AB是半圆的直径,点C是弧AB的中点,
∴点O是圆心.
连接OE,BC,OE与AC交于点M,
∵E为弧AC的中点,
易证OE⊥AC,
∵∠ACB=90°,∠AOE=45°,
∴OE∥BC,
设OM=1,则AM=1,
∴AC=BC=2,OA= ,
∴OE= ,
∴EM= ﹣1,
∵OE∥BC,
∴ = = .
故选:D.
 
 
【点评】此题要能够根据弧之间的关系找到角之间的关系,熟练运用圆周角定理的推论,能够根据相似三角形的性质建立对应边之间的关系.
 
8.(4分)(2012•余姚市校级自主招生)如图,在四边形ABCD中,∠B=135°,∠C=120°,AB= ,BC= ,CD= ,则AD边的长为(  )
 
A.  B.  C.  D.
【分析】作AE⊥BC,DF⊥BC,构建直角△AEB和直角△DFC,根据勾股定理计算BE,CF,DF,计算EF的值,并根据EF求AD.
【解答】解:如图,过点A,D分别作AE,DF垂直于直线BC,垂足分别为E,F.
由已知可得
BE=AE= ,CF= ,DF=2 ,
于是EF=4+ .
过点A作AG⊥DF,垂足为G.在Rt△ADG中,根据勾股定理得
AD= = = = = .
故选 D.
 
【点评】本题考查了勾股定理的正确运用,本题中构建直角△ABE和直角△CDF是解题的关键.
 
二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,满分28分)
9.(4分)(2009•长沙)已知关于x的不等式组 只有3个整数解,则实数a的取值范围是 ﹣2<a≤﹣1 .
【分析】此题需要首先解不等式,根据解的情况确定a的取值范围.特别是要注意不等号中等号的取舍.
【解答】解:解不等式x﹣a≥0得:x≥a,
解不等式5﹣2x>1得:x<2,
∵此不等式组有3个整数解,
∴这3个整数解为﹣1,0,1,
∴a的取值范围是﹣2<a<﹣1,
∵当a=﹣2时,不等式组的解集为﹣2≤a<2,此时有4个整数解,舍去,
当a=﹣1时,不等式组的解集为﹣1≤a<2,此时有3个整数解,符合要求.
∴实数a的取值范围是﹣2<a≤﹣1.
故答案为:﹣2<a≤﹣1.
【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法.解题中要注意分析不等式组的解集的确定.
 
10.(4分)(2012•余姚市校级自主招生)菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于   .
【分析】根据题意画出相应的图形,由四边形ABCD为菱形,得到AB=BC,利用“等边对等角”得到一对角相等,再由OB=OC,同理得到另一对角相等,等量代换得到三角形BOC与三角形ABC两对对应角相等,从而得到两三角形相似,由相似得比例,把对应的长代入即可列出关于a的方程,根据a大于0求出方程的解即可得到a的值.
【解答】解:∵四边形ABCD为菱形,又AO=a,
∴AB=BC=CD=AD=AO=a,
∴∠BAC=∠BCA,
∵OB=OC=OD=1,
∴∠OBC=∠BCA,
∴∠BAC=∠OBC,又∠BCA=∠OCB,
∴△BOC∽△ABC,
∴ ,即 ,
化简得:a2﹣a﹣1=0.
由a>0,解得: .
故答案为:
 
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