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2012年浙江省省一级重点中学自主招生考试数学模拟试卷解析版

文件大小: 207 K
资料类别: 试题练习
开 发 商: 佚名
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【分析】首先由矩形纸片ABCD对折,得折痕MN,推出∠BMN=∠AMN=90°,∠CNM=∠DNM=90°,M为AB的中点,然后根据矩形的性质推出∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°,即可推出AD∥MN∥BC,H点为AE的中点,根据翻折变换的性质,结合题意推出AB=AB′= ,∠BAE=∠B′AE,∠B=∠EB′A=90°,那么在Rt△AEB′中,AH=EH=B′H,得出∠EAB′=∠HB′A,根据平行线的性质推出∠DAB′=∠HB′A,通过等量代换可推出∠B′AE=∠EAB=B′AD=30°,最后根据特殊角的三角函数值即可推出AE的长度.
【解答】解:如图,设MN和AE交于点H,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°,
∵矩形纸片ABCD对折,得折痕MN,
∴∠BMN=∠AMN=90°,∠CNM=∠DNM=90°,M为AB的中点,
∴AD∥MN∥BC,H点为AE的中点,
∵点B叠在折痕MN上,得折痕AE,AB= ,
∴AB=AB′= ,∠BAE=∠B′AE,∠B=∠EB′A=90°,
∴在Rt△AEB′中,AH=EH=B′H,
∴∠EAB′=∠HB′A,
∵AD∥MN∥BC,
∴∠DAB′=∠HB′A,
∴∠B′AE=∠EAB=∠B′AD=30°,
∵在Rt△BAE中,AB= ,∠BAE=30°,
∴AE=2.
故选择B.
 
【点评】本题运用的知识点较多,主要考查翻折变换的性质,平行线的判定及性质,直角三角形的斜边上的中线的性质,矩形的性质,中点的性质,特殊角的三角函数值等知识点的综合运用,关键在于熟练运用相关的性质定理推出AH=EH=B′H,∠B′AE=∠EAB=B′AD=30°,运用特殊角的三角函数值认真的进行求解即可.
 
3.(5分)(2012•浙江校级自主招生)在半径为1的圆O中,弦AB、AC的长分别为 、 ,则∠BAC的度数为(  )
A.60° B.75° C.60°或45° D.15°或75°
【分析】先根据题意画出图形,分别作AC、AB的垂线,连接OA,再根据锐角三角函数的定义求出∠AOD及∠AOE的度数,根据直角三角形的性质即可得出结论.
【解答】解:①如图1,两弦在圆心的异侧时,过O作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,连接OA,
∵AB= ,AC= ,
∴AD= ,AE= ,
根据直角三角形中三角函数的值可知:sin∠AOD= ,
∴∠AOD=45°,
∵sin∠AOE= ,
∴∠AOE=60°,
∴∠OAD=90°﹣∠AOD=45°,∠OAC=90°﹣∠AOE=30°
∴∠BAC=∠OAD+∠OAC=45°+30°=75°;
②如图2,当两弦在圆心的同侧时同①可知∠AOD=45°,∠AOE=60°,
∴∠AOE=60°,
∴∠OAC=90°﹣∠AOE=90°﹣60°=30°,∠OAB=90°﹣∠AOD=90°﹣45°=45°.
∴∠BAC=∠OAB﹣∠OAC=45°﹣30°=15°.
故选D.
 
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理,解直角三角形,锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数,解答此题时要注意分类讨论,不要漏解.
 
4.(5分)(2012•浙江校级自主招生)如图,一个半径为3的圆O1的圆心经过一个半径为3 的圆O2,则图中阴影部分的面积为(  )
 
A.  B.9 C.  D.
【分析】连接O1O2,O1A,O1B,O2A,O2B,由勾股定理的逆定理得∠O2CA=∠AO2B=90°,则点A、O1、B在同一条直线上,则AB是圆O1的直径,从而得出阴影部分的面积S阴影= S⊙1﹣S弓形AO1B= S⊙1﹣(S扇形AO2B﹣S△AO2B).
【解答】解:连接O1O2,O1A,O1B,O2A,O2B,
∵CO2=CA=3,O2A= ,
∴CO22+CA2=O2A2,
∴∠O2CA=90°,同理∠O2CB=90°,
∴点A、C、B在同一条直线上,并且∠AO2B=90°,
∴AB是圆O1的直径,
∴S阴影= S⊙1﹣S弓形AO1B
= S⊙1﹣(S扇形AO2B﹣S△AO2B)

=9.
故选B.
 
【点评】本题考查了扇形面积的计算、勾股定理和相交两圆的性质.
 
5.(5分)(2012•浙江校级自主招生)已知A,B是两个锐角,且满足 , ,则实数t所有可能值的和为(  )
A.  B.  C.1 D.
【分析】根据公式sin2α+cos2α=1列出关于未知数t的一元二次方程,然后根据根与系数的关系解答.
【解答】解:根据已知,得
 ,即2= ,
∴3t2+5t﹣8=0,
∴解得t1=1,t2=﹣ ,
又∵ >0,即t>0,
∴t2=﹣ 不符合题意舍去,
∴t所有可能值的和为1.
故选C.
【点评】本题主要考查了同角三角函数的关系及根与系数的关系.解答此题的关键是熟练掌握同角三角函数的关系:sin2α+cos2α=1.
 
6.(5分)(2012•浙江校级自主招生)满足(n2﹣n﹣1)n+2=1的整数n有几个(  )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【分析】因为1的任何次幂为1,﹣1的偶次幂为1,非0数的0次幂为1,所以应分三种情况讨论n的值.
【解答】解:(1)n2﹣n﹣1=1,解得:n=2或n=﹣1;
(2) ,解得:n=0;
(3) ,解得:n=﹣2.
故选:A.
【点评】本题比较复杂,解答此题时要注意1的任何次幂为1,﹣1的偶次幂为1,非0数的0次幂为1,三种情况,不要漏解.
 
7.(5分)(2012•浙江校级自主招生)如图,双曲线y= (x>0)与矩形OABC的边BC,BA分别交于点E,F,且AF=BF,连接EF,则△OEF的面积为(  )
 
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
【分析】设B(a,b),根据题意得F ,由点F在双曲线 上,得a× =2,即ab=4,E、B两点纵坐标相等,且E点在双曲线 上,则E( ,b),再根据S△OEF=S梯形OFBC﹣S△OEC﹣S△FBE求解.
【解答】解:如图,设点B的坐标为(a,b),则点F的坐标为 .
∵点F在双曲线 上,
∴a× =2,
解得ab=4,
又∵点E在双曲线上,且纵坐标为b,所以点E的坐标为( ,b),则
S△OEF=S梯形OFBC﹣S△OEC﹣S△FBE,
= ×( +b)a﹣ ×b× ﹣ × ×(a﹣ )
= (ab+1﹣2)
= .
故选:A.
 
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的性质,直角坐标系中三角形面积的表示方法.注意双曲线上点的横坐标与纵坐标的积为常数.
 
8.(5分)(2012•浙江校级自主招生)若实数a,b满足 ,则a的取值范围是(  )
A.a≤﹣2 B.a≥4 C.a≤﹣2或a≥4 D.﹣2≤a≤4
【分析】把 看作是关于b的一元二次方程,由△≥0,得关于a的不等式,解不等式即可.
【解答】解:把 看作是关于b的一元二次方程,

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