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2012年浙江省萧山中学自主招生推荐生文化考试数学试卷解析版

文件大小: 225 K
资料类别: 试题练习
开 发 商: 佚名
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∴AC= ,
∴cosα= = ,
故选D.
【点评】考查锐角三角函数的知识;把所求角放置于一个直角三角形中是解决本题的突破点;掌握一个角的余弦值的表示方法是解决本题的关键.
 
3.(3分)(2012•萧山区校级自主招生)如图,⊙O的弦AB=8,M是AB的中点,且OM=3,则⊙O的直径等于(  )
 
A.8 B.2 C.10 D.5
【分析】连接OA,先由垂径定理求出AM的值,再根据勾股定理即可求出OA的值,进而得出⊙O的直径.
【解答】解:连接OA,
∵弦AB=8,M是AB的中点,
∴OM⊥AB,AM= AB= ×8=4,
在Rt△OAM中,
∵OA= = =5,
∴⊙O的直径=2OA=10.
故选C.
 
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
 
4.(3分)(2011•遵义)若a、b均为正整数,且 ,则a+b的最小值是(  )
A.3 B.4 C.5 D.6
【分析】本题需先根据已知条件分别求出a、b的最小值,即可求出a+b的最小值.
【解答】解:a、b均为正整数,且 ,
∴a的最小值是3,
b的最小值是:1,
则a+b的最小值4.
故选B.
【点评】本题主要考查了如何估算无理数的大小,在解题时要能根据题意求出a、b的值是本题的关键.
 
5.(3分)(2012•萧山区校级自主招生)如图,下列四个几何体中,其各自的主视图、左视图、俯视图中有两个相同,而另一个不同的是(  )
 
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
【分析】分别分析四种几何体的三种视图,再找出有两个相同,而另一个不同的几何体.
【解答】解:①正方体的主视图、左视图、俯视图都是正方形;
②球的主视图、左视图、俯视图都是圆形;
③圆锥的主视图和左视图是三角形,俯视图是圆,圆心处有一点;
④圆柱的主视图是和俯视图都是矩形,左视图是圆;
故选D.
【点评】本题考查了简单几何体的三视图以及学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力.
 
6.(3分)(2012•萧山区校级自主招生)杭州市某公交站每天6:30~7:30开往某学校的三辆班车票价相同,但车的舒适程度不同.学生小杰先观察后上车,当第一辆车开来时,他不上车,而是仔细观察车的舒适状况,若第二辆车的状况比第一辆车好,他就上第二辆车;若第二辆车不如第一辆车,他就上第三辆车.若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等,则小杰坐上优等车的概率是(  )
A.  B.  C.  D.
【分析】首先根据题意列出表格,然后根据表格即可求得乘车的所有等可能的结果与小杰坐上优等车的情况,然后利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:列表得:
顺序  优,中,差  优,差,中  中,优,差  中,差,优  差,优,中  差,中,优
小杰 差 中 优 优 优 中
∵小杰乘车的可能性有6种情况,小杰坐上优等车的有3种情况,
∴小杰坐上优等车的概率是: = .
故选A.
【点评】此题考查了列举法求概率的知识.此题难度适中,解题的关键是理解题意,根据题意列出表格;注意概率=所求情况数与总情况数之比.
 
7.(3分)(2012•萧山区校级自主招生)下列说法错误的有(  )个
①无理数包括正无理数、零、负无理数;
②3.0×104精确到千位,有2个有效数字
③命题“若x2=1,则x=1”的逆命题是真命题;
④若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则此等腰三角形的底角为30°和60°;
⑤若两数和为﹣6,两数积为﹣1,则以这两数为根的一元二次方程的一次项系数为6.
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】①0是有理数,故0不是无理数;
②把3.0×104恢复原数,可观察3后第一个0的位置,a有几个有效数字,此近似数就有几个有效数字;
③先找出原命题的逆命题,再判断是否是真的;
④分两种情况讨论:再三角形内部和三角形外部,分别计算;
⑤根据根与系数的关系可知,此选项正确.
【解答】解:①、0是有理数,故①选项错误;
②、3.0×104是精确到千位,且有两位有效数字,故②选项正确;
③命题“若x2=1,则x=1”的逆命题是“若x=1,则x2=1”,此逆命题是真命题,故③选项正确;
④分两种情况:
第一种情况,当高在三角形内部,在Rt△ABD中,由于BD= AB,可知∠BAD=30°,
那么等腰三角形ABC的底角=75°;
第二种情况,当高在三角形的外部,在Rt△ABD中,由于BD= AB,那么∠BAD=30°,
那么等腰三角形ABC的底角=15°.
故答案应该是15°或75°,此选项错误;
⑤若两数和为﹣6,两数积为﹣1,则以这两数为根的一元二次方程的一次项系数为6.
此选项错误.
故选C.
 
 
【点评】本题考查了近似数和有效数字、无理数、命题和逆命题、含有30°角的直角三角形的性质、根与系数的关系,解题的关键是熟练掌握有关概念,并能分情况讨论.
 
8.(3分)(2012•萧山区校级自主招生)如图,一张半径为1的圆形纸片在边长为4的正方形内任意移动,则在该正方形内,这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是(  )
 
A.4﹣π B.π C.12+π D.
【分析】这张圆形纸片减去“不能接触到的部分”的面积是就是这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积.
【解答】解:∵正方形的面积是:4×4=16;
扇形BAO的面积是: = = ,
∴则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4×1﹣4× =4﹣π,
∴这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是16﹣(4﹣π)=12+π,
故选C.
 
【点评】本题主要考查了正方形和扇形的面积的计算公式,正确记忆公式是解题的关键.
 
9.(3分)(2012•萧山区校级自主招生)边长为1的正方形OABC的顶点A在x正半轴上,点C在y正半轴上,将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°,如图所示,使点B恰好落在函数y=ax2(a<0)的图象上,则a的值为(  )
 
A.  B.﹣1 C.  D.
【分析】过点B向x轴引垂线,连接OB,可得OB的长度,进而得到点B的坐标,代入二次函数解析式即可求解.
【解答】解:如图,作BE⊥x轴于点E,连接OB,
∵正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°,
∴∠AOE=75°,
∵∠AOB=45°,
∴∠BOE=30°,
∵OA=1,
∴OB= ,
∵∠BEO=90°,
∴BE= OB= ,
∴OE= ,
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