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2012年重点高中最新自主招生数学模拟试卷解析版

文件大小: 260 K
资料类别: 试题练习
开 发 商: 佚名
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解不等式①得:x<20,
解不等式②得:x>3﹣2t,
则不等式组的解集为:3﹣2t<x<20,
∵不等式组有5个整数解
∴14≤3﹣2t<15,
11≤﹣2t<12,
﹣5.5≥t>﹣6.
故答案为:﹣5.5≥t>﹣6.
【点评】本题考查了解一元一次不等式(组),一元一次不等式组的整数解的应用,关键是得出关于t的不等式组.
 
17.(3分)三角形三边为整数,周长为180cm,且最长边为最短边的4倍,这样的三角形有 4 个.
【分析】首先确定第三边x的范围,则周长的范围即可求得,从而得到一个关于x的不等式组,求得x的范围,根据x是整数从而求得三角形的个数.
【解答】解:设最短的边长是xcm,则最长的边是4xcm,
第三边的长y的范围是:4x﹣x<y<4x+x,
积3x<y<5x,
因而周长c的范围是:x+4x+3x<c<x+4x+5x,积8x<c<10x,
∴ ,
解得:18<x< ,
则x=19或20或21或22.
故这样的三角形有4个.
故答案是:4.
【点评】本题考查了三角形的三边关系,正确表示出周长的范围是关键.
 
18.(3分)写出一个对称轴在y轴左侧,且开口向上经过点(0,1)的抛物线的解析式 y=(x+1)2 .
【分析】利用顶点式解析式写出即可.
【解答】解:抛物线y=(x+1)2对称轴为直线x=﹣1,且开口向上,经过点(0,1).
故答案为:y=(x+1)2.
【点评】本题考查了二次函数的性质,开放型题目,答案不唯一.
 
19.(3分)(2011•江津区)如图,在平面直角坐标系中有一矩形ABCD,其中A(0,0),B (8,0),D (0,4),若将△ABC沿AC所在直线翻折,点B落在点E处.则E点的坐标是   .
 
【分析】设E(x,y),连BE,与AC交于G,作EF⊥AB,由面积法可求得BG的长,在Rt△AEF和Rt△EFB中,由勾股定理知:EF2=AE2﹣AF2=BE2﹣BF2,解得x的值,再求得y的值即可
【解答】解:连接BE,与AC交于G,作EF⊥AB,
∵AB=AE,∠BAC=∠EAC,
∴△AEB是等腰三角形,AG是BE边上的高,
∴EG=GB,EB=2EG,
BG= = = ,
设E(x,y),则有:EF2=AE2﹣AF2=BE2﹣BF2即:
82﹣x2=( )2﹣(8﹣x)2,
解得:x= ,
y=EF= ,
∴E点的坐标为:( , ).
故答案为:( , ).
 
【点评】本题考查的是图形的翻折变换,涉及到勾股定理,等腰三角形的判定与性质,根据题意作出辅助线,构造出等腰三角形是解答此题的关键.
 
20.(3分)(2012•安徽)如图,P是矩形ABCD内的任意一点,连接PA、PB、PC、PD,得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA,设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4,给出如下结论:
①S1+S2=S3+S4;②S2+S4=S1+S3;③若S3=2S1,则S4=2S2;④若S1=S2,则P点在矩形的对角线上.
其中正确的结论的序号是 ②和④ (把所有正确结论的序号都填在横线上).
 
【分析】根据三角形面积求法以及矩形性质得出S1+S3= 矩形ABCD面积,以及 = , = ,即可得出P点一定在AC上.
【解答】解:如右图,过点P分别作PF⊥AD于点F,PE⊥AB于点E,
∵△APD以AD为底边,△PBC以BC为底边,
∴此时两三角形的高的和为AB,即可得出S1+S3= 矩形ABCD面积;
同理可得出S2+S4= 矩形ABCD面积;
∴S2+S4=S1+S3(故②正确);
当点P在矩形的两条对角线的交点时,S1+S2=S3+S4.但P是矩形ABCD内的任意一点,所以该等式不一定成立.(故①不一定正确);
③若S3=2S1,只能得出△APD与△PBC高度之比,S4不一定等于2S2;(故③错误);
④若S1=S2, ×PF×AD= PE×AB,
∴△APD与△PBA高度之比为: = ,
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°,
∴四边形AEPF是矩形,
∴此时矩形AEPF与矩形ABCD相似,
∴ = ,
∴P点在矩形的对角线上.(故④选项正确)
故答案为:②和④.
 
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及三角形面积求法,根据已知得出 = 是解题关键.
 
三.解答题((本大题共60分))
21.(8分)(2013•枣庄)先化简,再求值: ÷(m+2﹣ ).其中m是方程x2+3x﹣1=0的根.
【分析】先通分计算括号里的,再计算括号外的,化为最简,由于m是方程x2+3x﹣1=0的根,那么m2+3m﹣1=0,可得m2+3m的值,再把m2+3m的值整体代入化简后的式子,计算即可.
【解答】解:原式= ÷
= •
=
= ;
∵m是方程x2+3x﹣1=0的根.
∴m2+3m﹣1=0,
即m2+3m=1,
∴原式= .
【点评】本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解,解题的关键是通分、约分,以及分子分母的因式分解、整体代入.
 
22.(8分)(2012•枣庄)已知:如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2.
(1)求证:AB=BC;
(2)当BE⊥AD于E时,试证明:BE=AE+CD.
 
【分析】(1)根据勾股定理AB2+BC2=AC2,得出AB2+BC2=2AB2,进而得出AB=BC;
(2)首先证明CDEF是矩形,再根据△BAE≌△CBF,得出AE=BF,进而证明结论.
【解答】证明:(1)连接AC.
∵∠ABC=90°,
∴AB2+BC2=AC2.
∵CD⊥AD,
∴AD2+CD2=AC2.
∵AD2+CD2=2AB2,
∴AB2+BC2=2AB2,
∴BC2=AB2,
∵AB>0,BC>0,
∴AB=BC.

(2)过C作CF⊥BE于F.
∵BE⊥AD,CF⊥BE,CD⊥AD,
∴∠FED=∠CFE=∠D=90°,
∴四边形CDEF是矩形.
∴CD=EF.
∵∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,
∴∠BAE=∠CBF,
∴在△BAE与△CBF中
∴ ,
∴△BAE≌△CBF.(AAS)
∴AE=BF.
∴BE=BF+EF=AE+CD.
 
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及三角形的全等证明,根据已知得出四边形CDEF是矩形以及△BAE≌△CBF是解决问题的关键.
 
23.(8分)(2014秋•常熟市校级月考)直线y=x+3的图象与x轴,y轴分别交于A,B两点,直线l经过原点且与线段AB交于C,把△ABO的面积分成2:1两部分,求直线l的解析式.
【分析】首先求得△AOB的面积,然后根据直线l把△ABO的面积分成2:1两部分,即可求得△OAC和△OBC的面积,根据三角形的面积公式即可求得C的坐标,然后利用待定系数法即可求得直线的解析式.
【解答】解:在y=x+3中,令x=0,则y=3,故B的坐标是(0,3);
令y=0,解得x=﹣3,则A的坐标是(﹣3,0).
故OA=OB=3.
∴S△ABO= OA•OB= ×3×3= ,
当△OAC的面积与△OBC的面积的比是2:1时,
S△OAC= × =3,S△OBC= ,

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