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2013年四川省绵阳市南山中学自主招生数学试卷解析版3份

文件大小: 893 K
资料类别: 试题练习
开 发 商: 佚名
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【点评】此题主要考查了锐角三角形的定义以及三角形中位线的性质以及勾股定理逆定理,根据已知得出△BDC是直角三角形是解题关键.
 
7.(3分)(2011•金华)如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是(  )
 
A.点(0,3) B.点(2,3) C.点(5,1) D.点(6,1)
【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置,再根据切线的性质得出,∠OBD+∠EBF=90°时F点的位置即可.
【解答】解:连接AC,作AC,AB的垂直平分线,交格点于点O′,则点O′就是 所在圆的圆心,
∴三点组成的圆的圆心为:O′(2,0),
∵只有∠O′BD+∠EBF=90°时,BF与圆相切,
∴当△BO′D≌△FBE时,
∴EF=BD=2,
F点的坐标为:(5,1),
∴点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是:(5,1).
故选:C.
 
【点评】此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质,得出△BOD≌△FBE时,EF=BD=2,即得出F点的坐标是解决问题的关键.
 
8.(3分)(2013•涪城区校级自主招生)将抛物线y=3x2先向左平移2个单位,再向下平移1个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的解析式是(  )
A.y=3(x+2)2+1 B.y=3(x+2)2﹣1 C.y=3(x﹣2)2+1 D.y=3(x﹣2)2﹣1
【分析】根据函数图象平移的法则“左加右减,上加下减”的原则进行解答即可.
【解答】解:由“左加右减”的原则可知,将抛物线y=3x2先向左平移2个单位可得到抛物线y=3(x+2)2;
由“上加下减”的原则可知,将抛物线y=3(x+2)2先向下平移1个单位可得到抛物线y=3(x+2)2﹣1.
故选B.
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.
 
9.(3分)(2003•哈尔滨)下列各图是在同一直角坐标系内,二次函数y=ax2+(a+c)x+c与一次函数y=ax+c的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是(  )
A.  B.  C.  D.
【分析】本题可先由一次函数y=ax+c图象得到字母系数的正负,再与二次函数y=ax2+(a+c)x+c的图象相比较看是否一致,用排除法即可解答.
【解答】解:A、一次函数y=ax+c的图象过一、三象限,a>0,与二次函数开口向下,即a<0相矛盾,错误;
B、一次函数y=ax+c的图象过二、四象限,a<0,与二次函数开口向上,a>0相矛盾,错误;
C、y=ax2+(a+c)x+c=(ax+c)(x+1),故此二次函数与x轴的两个交点为(﹣ ,0),(﹣1,0),一次函数y=ax+c与x轴的交点为(﹣ ,0),故两函数在x轴上有交点,错误;
排除A、B、C,
故选D.
【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象性质,比较简单.
 
10.(3分)(2009•黑河)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,若⊙O的半径为 ,AC=2,则sinB的值是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【分析】求角的三角函数值,可以转化为求直角三角形边的比,连接DC.根据同弧所对的圆周角相等,就可以转化为:求直角三角形的锐角的三角函数值的问题.
【解答】解:连接DC.
根据直径所对的圆周角是直角,得∠ACD=90°.
根据同弧所对的圆周角相等,得∠B=∠D.
∴sinB=sinD= = .
故选A.
 
【点评】综合运用了圆周角定理及其推论.注意求一个角的锐角三角函数时,能够根据条件把角转化到一个直角三角形中.
 
11.(3分)(2013•涪城区校级自主招生)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4.将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°后,得到矩形FGCE(点A、B、D的对应点分别为点F、G、E).动点P从点B开始沿BC﹣CE运动到点E后停止,动点Q从点E开始沿EF﹣FG运动到点G后停止,这两点的运动速度均为每秒1个单位.若点P和点Q同时开始运动,运动时间为x(秒),△APQ的面积为y,则能够正确反映y与x之间的函数关系的图象大致是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【分析】先求出点P在BE上运动是时间为6秒,点Q在EF﹣FG上运动是时间为6秒,然后分:
①当0≤x≤4时,根据△APQ的面积为y=S矩形MBEF﹣S△ABP﹣S△PEQ﹣S梯形FMAQ,列式整理即可得解;
②当4<x≤6时,根据△APQ的面积为△APQ的面积为y=S梯形MBPQ﹣S△BPA﹣S△AMQ,列式整理即可得解,再根据函数解析式确定出函数图象即可.
【解答】解:①如图1,延长AD交EF于H,延长FG与BA的延长线交于点M.
当0≤x≤4时,y=6×4﹣ ×2•x﹣ (6﹣x)•x﹣ ×(4﹣x+2)×6= x2﹣x+6= (x﹣1)2+ ,
此时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分,且顶点坐标是(1, ).
故C、D选项错误;
②点Q在GF上时,4<x≤6,
BP=x,MQ=6+4﹣x=10﹣x,
△APQ的面积为y=S梯形MBPQ﹣S△BPA﹣S△AMQ,
= (x+10﹣x)×4﹣ •2•x﹣ (10﹣x)•2,
=10,
综上所述,y= ,
故选:A.
 
 
【点评】本题考查了动点问题的函数图象,根据点Q运动时间和位置,分点Q在CE﹣EF、GF上两种情况,利用割补法求得△APQ的面积,从而得到函数关系式是解题的关键,也是本题的难点.
 
12.(3分)(2013•涪城区校级自主招生)如图,在△ABC中,AB=AC=5,CB=8,分别以AB、AC为直径作半圆,则图中阴影部分面积是(  )
 
A.  B.25π﹣24 C.25π﹣12 D.
【分析】设以AB、AC为直径作半圆交BC于D点,连AD,根据直径所对的圆周角为直角得到AD⊥BC,再根据勾股定理计算出AD,然后利用阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积﹣△ABC的面积计算即可.
【解答】解:设以AB、AC为直径作半圆交BC于D点,连AD,如图,
∴AD⊥BC,
∴BD=DC= BC=4,
∵AB=AC=5,
∴AD=3,
∴阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积﹣△ABC的面积
=π×( )2﹣ ×8×3
= π﹣12.
故选:D.
 
【点评】本题考查了不规则图形面积的计算方法:把不规则的图形面积的计算转化为规则图形的面积和差来计算.也考查了圆周角定理的推论以及勾股定理.
 
二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.请将答案填入答题卡相应的横线上.)
13.(4分)(2014•攀枝花)函数 中自变量x的取值范围是 x≥2 .
【分析】根据二次根式的性质,被开方数大于等于0,就可以求解.
【解答】解:依题意,得x﹣2≥0,
解得:x≥2,
故答案为:x≥2.
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围,考查的知识点为:二次根式的被开方数是非负数.
 
14.(4分)(2014•绥化)分解因式:a3﹣4a2+4a= a(a﹣2)2 .
【分析】观察原式a3﹣4a2+4a,找到公因式a,提出公因式后发现a2﹣4a+4是完全平方公式,利用完全平方公式继续分解可得.
【解答】解:a3﹣4a2+4a,
=a(a2﹣4a+4),
=a(a﹣2)2.
故答案为:a(a﹣2)2.
【点评】本题考查了对一个多项式因式分解的能力.一般地,因式分解有两种方法,提公因式法,公式法,能提公因式先提公因式,然后再考虑公式法(完全平方公式).要求灵活运用各种方法进行因式分解.
 
15.(4分)(2013•涪城区校级自主招生)已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根,且两圆的圆心距O1O2=t+2,若这两个圆相交,则t的取值范围为 0<t<6 .
【分析】首先求得方程的两根,然后根据相交两圆的圆心距的取值范围确定t的取值范围即可.
【解答】解:∵⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根,
∴解方程得两圆的半径分别为3和5,
∵相交两圆的圆心距O1O2=t+2,
∴5﹣3<t+2<5+3
解得:0<t<6,
故答案为:0<t<6
【点评】本题考查了两圆半径、圆心距与两圆位置之间的关系,如果设两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P:外离P>R+r;外切P=R+r;相交R﹣r<P<R+r;内切P=R﹣r;内含P<R﹣r.
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