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2013年四川省遂宁中学外国语实验校自主招生考试数学试卷解析版

文件大小: 192 K
资料类别: 试题练习
开 发 商: 佚名
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﹣3x)]•10=﹣92x+1920,根据y随x的变化规律,结合(2)中所求,就可确定使利润最大的方案.
【解答】解:(1)∵8x+6y+5(20﹣x﹣y)=120,
∴y=20﹣3x.
∴y与x之间的函数关系式为y=20﹣3x.                              (3分)

(2)由x≥3,y=20﹣3x≥3,即20﹣3x≥3可得3≤x≤5 ,
又∵x为正整数,
∴x=3,4,5.                                    (5分)
故车辆的安排有三种方案,即:
方案一:甲种3辆乙种11辆丙种6辆;
方案二:甲种4辆乙种8辆丙种8辆;
方案三:甲种5辆乙种5辆丙种10辆.                                 (7分)

(3)设此次销售利润为W百元,
W=8x•12+6(20﹣3x)•16+5[20﹣x﹣(20﹣3x)]•10=﹣92x+1920.
∵W随x的增大而减小,又x=3,4,5
∴当x=3时,W最大=1644(百元)=16.44万元.
答:要使此次销售获利最大,应采用(2)中方案一,即甲种3辆,乙种11辆,丙种6辆,最大利润为16.44万元.(10分)
【点评】本题需仔细分析题意,利用不等式组求出自变量的取值,从而确定方案.
 
21.(15分)(2013•船山区校级自主招生)如图,在△ABC中,AB=AC,cosA= .以AB为直径作半圆,圆心为O,半圆分别交BC、AC于点D、E.
(1)求证:CD=BD;
(2)求 的值;
(3)若过点D的直线与⊙O相切,且交AB的延长线于点P,交AC于点Q,求 的值.
 
【分析】(1)连接AD,由AB为圆的直径,利用直径所对的圆周角为直角得到AD⊥BC,再由AB=AC,利用三线合一即可得证;
(2)连接EB,由AB为直径,利用直径所对的圆周角为直角得到BE⊥EC,在直角三角形AEB中,由cos∠EAB的值,设设AE=4k,得到AB=5k,由CE=AC﹣AE=5k﹣4k=k,即可求出CE与AE的比值;
(3)连接OD,过B作BH垂直于PQ,由D为BD中点,O为AB中点,得到OD为三角形ABC的中位线,利用中位线定理得到OD平行与AC,由PQ为圆的切线,利用切线的性质得到OD垂直于PQ,进而得到AC,OD及BH互相平行,利用两直线平行内错角相等得到一对直角相等,再由一对对顶角相等及BD=CD,利用AAS得到三角形BDH与三角形CDQ全等,由全等三角形的对应边相等得到BH=CQ,在Rt△PBH中,cos∠HBP=cos∠BCA,由cos∠BAC的值,求出cos∠HBP的值,即为BH与BP的比值,等量代换即可求出CQ与BP的比值.
【解答】(1)证明:连结AD,
∵点D在以AB为直径作半圆上,
∴AD⊥BC,
又∵AB=AC,
∴CD=BD;
(2)连结EB,
∵点E在以AB为直径作半圆上,
∴BE⊥AC,
在Rt△AEB中,cos∠EAB= ,
∴ = ,
设AE=4k,则AB=5k,
又∵AB=AC,
∴CE=AC﹣AE=5k﹣4k=k,
∴ = = ;
(3)连结OD,
∵CD=BD,AO=BO,
∴OD是△ABC的中位线,
∴OD∥AC,
∵过点D的直线PQ与⊙O相切,
∴OD⊥PQ,
过B作BH⊥PQ,H为垂足,
∴BH∥OD∥AC,
在△DBH和△DCQ中,
 ,
∴△DBH≌△DCQ(AAS),
∴QC=BH,
在Rt△PBH中,cos∠HBP= ,
∴ =cos∠HBP=cos∠BAC,
∵cos∠BAC= ,
∴ = ,即 = .
 
【点评】此题考查了切线的性质,圆周角定理,全等三角形的判定与性质,锐角三角函数定义,以及等腰三角形的性质,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.
 
22.(15分)(2009•眉山)如图,已知直线y= x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y= x2+bx+c与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)动点P在x轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM﹣MC|的值最大,求出点M的坐标.
 
【分析】方法一:
(1)易得点A(0,1),那么把A,B坐标代入y= x2+bx+c即可求得函数解析式;
(2)让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点E的坐标.△PAE是直角三角形,应分点P为直角顶点,点A是直角顶点,点E是直角顶点三种情况探讨;
(3)易得|AM﹣MC|的值最大,应找到C关于对称轴的对称点B,连接AB交对称轴的一点就是M.应让过AB的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标.
方法二:
(1)略.
(2)分别列出点P,A,E坐标,并分别列出PA,EA,PE三种垂直关系,利用黄金法则二,求出P点坐标.
(3)把点C对称到点B,连接AB交对称轴于点M.
【解答】方法一:
解:(1)将A(0,1)、B(1,0)坐标代入y= x2+bx+c
得 ,
解得 ,
∴抛物线的解折式为y= x2﹣ x+1;

(2)设点E的横坐标为m,则它的纵坐标为 m2﹣ m+1,
即E点的坐标(m, m2﹣ m+1),
又∵点E在直线y= x+1上,
∴ m2﹣ m+1= m+1
解得m1=0(舍去),m2=4,
∴E的坐标为(4,3).
(Ⅰ)当A为直角顶点时,
过A作AP1⊥DE交x轴于P1点,设P1(a,0)易知D点坐标为(﹣2,0),
由Rt△AOD∽Rt△P1OA得
 即 ,
∴a= ,
∴P1( ,0).
(Ⅱ)同理,当E为直角顶点时,过E作EP2⊥DE交x轴于P2点,
由Rt△AOD∽Rt△P2ED得,
 即 = ,
∴EP2= ,
∴DP2= =
∴a= ﹣2= ,
P2点坐标为( ,0).
(Ⅲ)当P为直角顶点时,过E作EF⊥x轴于F,设P3(b、0),
由∠OPA+∠FPE=90°,得∠OPA=∠FEP,Rt△AOP∽Rt△PFE,
由 得 ,
解得b1=3,b2=1,
∴此时的点P3的坐标为(1,0)或(3,0),
综上所述,满足条件的点P的坐标为( ,0)或(1,0)或(3,0)或( ,0);

(3)抛物线的对称轴为 ,
∵B、C关于x= 对称,
∴MC=MB,
要使|AM﹣MC|最大,即是使|AM﹣MB|最大,
由三角形两边之差小于第三边得,当A、B、M在同一直线上时|AM﹣MB|的值最大.
易知直线AB的解析式为y=﹣x+1
∴由 ,
得 ,
∴M( ,﹣ ).
方法二:
(1)略.
(2) ⇒ ,
∴x2﹣4x=0,x1=0,x2=4,
∴E(4,3),A(0,1),
设P(t,0),
∵△PAE是直角三角形,∴PA⊥EA或PE⊥AE或AP⊥EP,
①当PA⊥EA时,KPA×KEA=﹣1, ,∴t= ,∴P1( ,0),
②当PE⊥AE时,KPE×KEA=﹣1, ,∴t= ,∴P2( ,0),

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