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2014年福建省福州八中自主招生数学样卷解析版

文件大小: 232 K
资料类别: 试题练习
开 发 商: 佚名
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A.(a5)2=a7 B.x6÷x2=x3 C.x3•x﹣3=1 D.
【分析】根据幂的乘方底数不变指数相乘,同底数幂的除法底数不变指数相减,同底数幂的乘法底数不变指数相加,二次根式的性质,可得答案.
【解答】解:A、幂的乘方底数不变指数相乘,故A错误;
B、同底数幂的除法底数不变指数相减,故B错误;
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故C正确;
D、 =|a|,故D错误;
故选:C.
【点评】本题考查了同底数幂的除法,熟记法则并根据法则计算是解题关键.
 
4.(6分)(2014•福州校级自主招生)已知点G是等边△ABC的重心,AB=6,P为AB边上的一个动点,则P、G两点间距离的最小值是(  )
A.2 B.  C.  D.
【分析】根据点到直线之间垂线段最短可知,当GP⊥AB时GP最小,此时点P在线段AB的中点,根据重心的性质可得CG=2PG,即GP= CP,只需运用勾股定理求出CP即可.
【解答】解:当点P运动到AB中点位置时,
∵点G是等边△ABC的重心,
∴CP⊥AB,CG=2PG即GP= CP.
此时GP最短,且BP=3,BC=6,
根据勾股定理可得:
CP= =3 ,
∴GP= .
故选C.
【点评】本题主要考查了点到直线之间垂线段最短、重心的性质(即重心到顶点的距离等于重心到对应中点距离的2倍)、勾股定理等知识,运用重心的性质能提高解题速度,应熟练掌握.
 
5.(6分)(2014•福州校级自主招生)从不等式组 的所有整数解中任取一个数,它是偶数的概率是(  )
A.  B.  C.  D.1
【分析】首先求得不等式组 的所有整数解,然后由概率公式求得答案.
【解答】解:∵ ,
由①得:x≥2,
由②得:x≤4,
∴不等式组的解集为:2≤x≤4,
∴整数解有:2,3,4;
∴它是偶数的概率是 .
故选B.
【点评】此题考查了概率公式的应用以及不等式组的解集.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
 
6.(6分)(2014•福州校级自主招生)如图,已知⊙O的弦AB=100,∠ACB=45°,则⊙O的直径AD等于(  )
 
A.  B.  C.  D.
【分析】由圆周角定理,易证得△ABD是等腰直角直角三角形,继而求得答案.
【解答】解:∵AD是直径,
∴∠ABD=90°,
∵∠ACB=45°,
∴∠D=∠ACB=45°,
∴AD= = =100 .
故选B.
【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.
 
7.(6分)(2014•福州校级自主招生)方程 的解是(  )
A.x=1或x=  B.x=﹣1或x=  C.x=﹣1或x=  D.x=1或x=
【分析】根据绝对值性质,可知x的绝对值等于它本身或者相反数,进而解一元一次方程可得x的值.
【解答】解:由题意得① =x或② =﹣x,
解①得:x=1
解②得:x=﹣ .
故x=1或x=﹣ .
故选A.
【点评】本题很好的将绝对值与一元一次方程结合,同时考查了两个知识点.
 
8.(6分)(2014•福州校级自主招生)王明、李成两位同学初三复习阶段10次数学自测的成绩(均为整数,且个位数为0)分别如图所示,
 
根据图中提供的信息,下列说法正确的是(  )
A.两人成绩的众数相同 B.两人成绩的中位数一样
C.张明的方差大于李成的方差 D.两人成绩的平均数相等
【分析】根据计算公式分别求出王明、李成的平均数,利用中位数和众数的定义分别求出中位数和众数;计算方差从两人成绩稳定性上分析得出.
【解答】解:张明10次成绩分别为:80,70,90,80,70,90,70,80,90,80;
按大小顺序排列为:70,70,70,80,80,80,80,90,90,90;
则平均成绩是: ×(90×3+80×4+70×3)=80(分),
中位数是:80;
众数是:80;
方差: ×(100×3+0×4+100×3)=60;
李成10次成绩分别为:80,60,100,70,90,50,90,70,90,100;
按大小顺序排列为:50,60,70,70,80,90,90,90,100,100;
则平均成绩是: ×(50+60+70×2+80+90×3+100×2)=80(分),
中位数是:85,
90出现了3次,出现的次数最多,则众数是:90;
方差: ×(900+400+100×5+0×1+400×3)=3000;
所以只有平均数相同.
故选:D.
【点评】此题主要考查折线统计图,方差,极差,平均分等知识,概括了统计部分大部分内容,熟练掌握基础知识并区分知识之间的联系是解决问题的关键.
 
9.(6分)(2014•福州校级自主招生)设a,b是方程x2+x﹣2013=0的两个实数根,则a2+a+ab的值为(  )
A.2013 B.4026 C.1 D.0
【分析】根据一元二次方程的解的定义,把x=a代入方程求出a2+a的值,再利用根与系数的关系求出ab的值,然后两者相加即可得解.
【解答】解:∵a,b是方程x2+x﹣2013=0的两个实数根,
∴a2+a﹣2013=0,
∴a2+a=2013,
又∵ab=﹣2013,
∴a2+a+ab=(a2+a)+(ab)=2013+(﹣2013)=0.
故选:D.
【点评】本题考查了根与系数的关系与一元二次方程的解的定义,考虑把a2+a+ab分成(a2+a)与ab的和是解题的关键.
 
10.(6分)(2014•福州校级自主招生)若一个三角形的任意两边都不相等,则称之为不规则三角形,用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中,不规则三角形的个数是(  )
A.18 B.24 C.30 D.36
【分析】根据题意画出图形,从正方体的一个顶点出发求出构成的不规则三角形的个数即可求出用任意三个顶点构成的所有三角形中,不规则三角形的个数.
【解答】解:如图所示,
∵连接BD、BE、BF、EG,则△BEF、△BEG、△BDE均为不规则三角形,
∴从正方体的一个顶点出发与所有顶点的连线中有三个不规则的三角形,
∴用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中,不规则三角形的个数是3×8=24个.
故选B.
 
【点评】本题考查的是立体图形,解答此题的关键是根据题意画出图形,找出从正方体的一个顶点出发求出构成的不规则三角形的个数.
 
二、填空题(每题6分,满分30分.)
11.(6分)(2014•福州校级自主招生)一副三角板如图放置,若∠1=90°,则∠2的度数为 75° .
 
【分析】首先根据三角板可得∠B=30°,∠A=45°,再根据三角形内角和可得∠3=45°,然后再根据三角形内角与外角的关系可得∠2=∠B+∠4,进而得到答案.
【解答】解:由题意得:∠B=30°,∠A=45°,
∵∠1=90°,
∴∠A+∠3=90°,
∴∠3=45°,
∴∠4=45°,
∵∠B=30°,
∴∠2=45°+30°=75°,
故答案为:75°.
 
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理,以及三角形内角与外角的关系,关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
 
12.(6分)(2014•福州校级自主招生)已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如上图所示,若y<0,则x的取值范围是 ﹣1<x<3 .
 
【分析】先根据二次函数图象的对称性求出抛物线与x轴的另一交点的横坐标,然后根据图象直接解答即可.
【解答】解:∵函数图象与x轴的一个交点横坐标为﹣1,对称轴为x=1,
∴函数图象与x轴的另一个交点横坐标为3,
可知,当y<0时,﹣1<x<3.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,根据对称轴及图象与x轴的交点求出另一个交点坐标是解题的关键.
 
13.(6分)(2014•福州校级自主招生)反比例函数 与 在第一象限的图象如图所示,作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点,连接OA、OB,则△AOB的面积为 1.5 .
 
【分析】由于AB∥x轴,可知AB两点的纵坐标相等,于是可设A点坐标是(a,c),B点坐标是(b,c),于是可得 = ,即b= a,进而可求AB,据图可知△AOB的高是c,再利用面积公式可求其面积.
【解答】解:由于AB∥x轴,设A点坐标是(a,c),B点坐标是(b,c),那么
 = ,
∴b= a,
∴AB=|a﹣b|= a,
∵c= ,
∴S△AOB= AB•c= × a× = ,
故答案是 .
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,解题的关键是注意A、B两点的纵坐标相等.
 
14.(6分)(2014•福州校级自主招生)下面是按一定规律排列的一列数:
第1个数: ;
第2个数:

第3个数: ;

第n个数: .

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