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2013年湖北省重点高中自主招生考试数学试卷解析版

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资料类别: 试题练习
开 发 商: 佚名
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【点评】本题考查了圆周角定理.在同圆或等圆中,同弧和等弧所对的圆周角相等,一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理的推论.
 
4.(3分)(2013•湖北自主招生)已知y= + (x,y均为实数),则y的最大值与最小值的差为(  )
A.2 ﹣1 B.4﹣2  C.3﹣2  D.2 ﹣2
【分析】首先把y= + 两边平方,求出定义域,然后利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值,最后求差.
【解答】解:∵y= + ,
∴y2=4+2  =4+2× ,
∵1≤x≤5,
当x=3时,y的最大值为2 ,当x=1或5时,y的最小值为2,
故当x=1或5时,y取得最小值2,
当x取1与5中间值3时,y取得最大值,
故y的最大值与最小值的差为2 ﹣2,
故选D.
【点评】本题主要考查函数最值问题的知识点,解答本题的关键是把函数两边平方,此题难度不大.
 
5.(3分)(2011•乌兰察布模拟)已知O为圆锥的顶点,M为圆锥底面上一点,点P在OM上.一只蜗牛从P点出发,绕圆锥侧面爬行,回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示.若沿OM将圆锥侧面剪开并展开,所得侧面展开图是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【分析】此题运用圆锥的性质,同时此题为数学知识的应用,由题意蜗牛从P点出发,绕圆锥侧面爬行,回到P点时所爬过的最短,就用到两点间线段最短定理.
【解答】解:蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段,因此选项A和B错误,又因为蜗牛从p点出发,绕圆锥侧面爬行后,又回到起始点P处,那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后,位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点(P′)重合,而选项C还原后两个点不能够重合.
故选:D.
【点评】本题考核立意相对较新,考核了学生的空间想象能力.
 
6.(3分)(2013•湖北自主招生)已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍,当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了(  )
 
A.6圈 B.6.5圈 C.7圈 D.8圈
【分析】根据直线与圆相切的性质得到圆从一边转到另一边时,圆心要绕其三角形的顶点旋转120°,则圆绕三个顶点共旋转了360°,即它转了一圈,再加上在三边作无滑动滚动时要转6圈,这样得到它回到原出发位置时共转了7圈.
【解答】解:圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转,
∵等边三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍,
∴圆转了6圈,
而圆从一边转到另一边时,圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数,
圆心要绕其三角形的顶点旋转120°,
∴圆绕三个顶点共旋转了360°,即它转了一圈,
∴圆回到原出发位置时,共转了6+1=7圈.
故选C.
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,弧长公式:l= (n为圆心角,R为半径);也考查了旋转的性质.
 
7.(3分)(2013•湖北自主招生)二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图,则以下结论正确的有:①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b>m(am+b)(m≠1,m为实数)(  )
 
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
【解答】解:①由图象可知:a<0,b>0,c>0,abc<0,错误;
②当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,即b>a+c,错误;
③由对称知,当x=2时,函数值大于0,即y=4a+2b+c>0,正确;
④当x=3时函数值小于0,y=9a+3b+c<0,且x=﹣ =1,
即a=﹣ ,代入得9(﹣ )+3b+c<0,得2c<3b,正确;
⑤当x=1时,y的值最大.此时,y=a+b+c,
而当x=m时,y=am2+bm+c,
所以a+b+c>am2+bm+c,
故a+b>am2+bm,即a+b>m(am+b),正确.
③④⑤正确.
故选B.
【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.
 
8.(3分)(2013•湖北自主招生)如图,正△ABC中,P为正三角形内任意一点,过P作PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC连结AP、BP、CP,如果 ,那
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