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2014-2015学年湖南省娄底市大江口中学八年级(下)数学竞赛试卷解析版

文件大小: 396 K
资料类别: 试题练习
开 发 商: 佚名
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不要漏掉某种情况.
 
2.(3分)(2013•柳州)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,AD平分∠BAC交BC于D,则BD的长为(  )
 
A.  B.  C.  D.
【分析】根据勾股定理列式求出BC,再利用三角形的面积求出点A到BC上的高,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点D到AB、AC上的距离相等,然后利用三角形的面积求出点D到AB的长,再利用△ABD的面积列式计算即可得解.
【解答】解:∵∠BAC=90°,AB=3,AC=4,
∴BC= = =5,
∴BC边上的高=3×4÷5= ,
∵AD平分∠BAC,
∴点D到AB、AC上的距离相等,设为h,
则S△ABC= ×3h+ ×4h= ×5× ,
解得h= ,
S△ABD= ×3× = BD• ,
解得BD= .
故选A.
【点评】本题考查了角平分线的性质,三角形的面积,勾股定理,利用三角形的面积分别求出相应的高是解题的关键.
 
3.(3分)(2012•南岗区一模)如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠A=90°,BD是角平分线,DE⊥BC,垂足为点E.若CD=5 ,则AD的长是(  )
 
A.  B.2  C.  D.5
【分析】先解直角三角形求出DE的长度,在根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD=DE,从而得解.
【解答】解:∵AB=AC,∠A=90°,
∴∠C=45°,
∵DE⊥BC,CD=5 ,
∴DE=CD•sin45°=5 × =5,
∵BD是角平分线,DE⊥BC,∠A=90°,
∴AD=DE=5.
故选D.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,等腰直角三角形的性质,难点在于求出DE的长度.
 
4.(3分)(2012•广州模拟)如图,平行四边形ABCD中,M是BC的中点,且AM=9,BD=12,AD=10,则ABCD的面积是(  )
 
A.30 B.36 C.54 D.72
【分析】求▱ABCD的面积,就需求出BC边上的高,可过D作DE∥AM,交BC的延长线于E,那么四边形ADEM也是平行四边形,则AM=DE;在△BDE中,三角形的三边长正好符合勾股定理的逆定理,因此△BDE是直角三角形;可过D作DF⊥BC于F,根据三角形面积的不同表示方法,可求出DF的长,也就求出了BC边上的高,由此可求出四边形ABCD的面积.
【解答】解:作DE∥AM,交BC的延长线于E,则ADEM是平行四边形,
∴DE=AM=9,ME=AD=10,
又由题意可得,BM= BC= AD=5,则BE=15,
在△BDE中,∵BD2+DE2=144+81=225=BE2,
∴△BDE是直角三角形,且∠BDE=90°,
过D作DF⊥BE于F,
则DF= = ,
∴S▱ABCD=BC•FD=10× =72.
故选D.
 
【点评】此题主要考查平行四边形的性质和勾股定理的逆定理,正确地作出辅助线,构造直角三角形是解题的关键.
 
5.(3分)(2014•枣庄)如图,△ABC中,AB=4,AC=3,AD、AE分别是其角平分线和中线,过点C作CG⊥AD于F,交AB于G,连接EF,则线段EF的长为(  )
 
A.  B.1 C.  D.7
【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形,所以F为GC中点,再由已知条件可得EF为△CBG的中位线,利用中位线的性质即可求出线段EF的长.
【解答】解:∵AD是其角平分线,CG⊥AD于F,
∴△AGC是等腰三角形,
∴AG=AC=3,GF=CF,
∵AB=4,AC=3,
∴BG=1,
∵AE是中线,
∴BE=CE,
∴EF为△CBG的中位线,
∴EF= BG= ,
故选:A.
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