如图所示,小明和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板,爸爸的体重为72千克,坐在跷跷板的一端;体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端.这时,爸爸坐的一端仍然着地,后来小明借来一个质量为6千克的哑铃,加在他和妈妈坐的一端,结果爸爸被跷起. 在上面的例子中,如果设小明的体重为x千克,那么妈妈的体重为2x千克,当爸爸所坐的一端着地时,(x+2x)千克小于72千克;当爸爸被跷起时,(x+2x+6)千克大于72千克.怎样用数学式子表示上述不等关系呢?
教材精华 知识点1 不等式的概念 用“<”或“>”号表示大小关系的式子,叫做不等式.如5>2,a≥1,b<-1等. 像x≠3这样用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式. 知识点2 不等式成立与不等式不成立的意义 对于含有未知数的不等式来说,当未知数取某些值时,不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系,我们就说不等式成立;当未知数取某些数值时,不等式的左、右两边不符合所表示的大小关系,我们就说不等式不成立. 知识点3 不等式的解 对于一个含有未知数的不等式,任何一个使这个不等式成立的未知数的值,都叫做这个不等式的解. 知识点4 不等式的解集 对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解集. 知识点5 如何用数轴表示不等式的解集 类似于一元一次方程,含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式. 一般来说,一元一次不等式的解集有如图9-1所示的几种情况. 拓展 用数轴表示不等式的解集,应记住如下规律:大于向右画,小于向左画,有等号(≥,≤)画实心圆点,无等号(>,<)画空心圆圈. 知识点6 不等式的性质 不等式的性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变. 即:如果a>b,那么a±c>b±c. 不等式的性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 即:如果a>b,c>0,那么ac>bc(或 > ). 不等式的性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 即:a>b,c<0,那么ac<bc(或 < ). 知识点7 解不等式 求不等式的解集的过程叫做解不等式. 主要利用不等式的性质解不等式,即应用不等式的性质进行同解变形. 探究交流 同桌甲和乙正对4a>3a进行争论,甲说:“4a>3a是正确的.”乙说:“这不可能正确.”你认为谁说得对?为什么? 解析: 两人说得都不对.因为a的值不确定,应分情况讨论:当a>0时,由不等式的性质2,得4a>3a;当a<0时,由不等式的性质3,得4a<3a;当a=0时,4a=3a=0.
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基础知识应用题 1、用不等式表示下列语句. (1)a是正数; (2)b是非负数; (3)a,b两数的平方和的2倍再加上c不小于10; (4)a与b的和不是正数; (5)a与b的和的绝对值不大于a与b的绝对值的和.
2、有理数a,b在数轴上的位置如图9-2所示,用不等号填空. (1)a-b________0; (2)a+b________0; (3)ab________0; (4) ; (5) (6)|a|_______|b|. 综合应用题 3、求当a取什么值时,解方程3x-2=a得到的x值分别满足下列条件. (1)是正数; (2)是0;
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