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人教版九年级数学上册练习:小专题(七) 旋转中的计算与证明

文件大小: 41 K
资料类别: 试题练习
开 发 商: 佚名
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在很多题目中都有这样的题设条件:一个大角中有一个共顶点的小角,小角正好是大角的一半(如例1).当面对这样的信息时,往往可以考虑使用旋转变换,并且旋转后,多半还有一对轴对称的全等三角形出现,此时,很多问题即可迎刃而解了.总结此类问题解题的思路即是:半角信息——带形旋转——轴对称的全等三角形.
 
【例1】 如图,已知四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于O.设E,F分别是AB上不同的两个点,且∠EOF=45°,请你用等式表示线段AE,BF和EF之间的数量关系,并证明.
【思路点拨】 将△OFB绕点O顺时针旋转90°,得△OHA.连接HE,利用条件可证△EOH≌△EOF,从而得EH=EF.然后在Rt△AEH中,利用勾股定理得EH2=AH2+AE2,进而得出结论.

1.已知在△ABC中,AB=AC,D,E是BC边上的点,将△ABD绕点A旋转,得到△ACD′,连接D′E.
 
(1)如图1,当∠BAC=120°时,∠DAE=60°时,求证:DE=D′E;

(2)如图2,当DE=D′E时,∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系?请写出,并说明理由.
(3)如图3,在(2)的结论下,当∠BAC=90°,BD与DE满足怎样的数量关系时,△D′EC是等腰直角三角形?(直接写出结论,不必说明理由)
类型2 基于“等边三角形”的旋转
方法归纳:将等边三角形内的一个小三角形,旋转60度,从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合,连接小三角形的钝角顶点,得三角形.通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中,将分散的已知条件集中起来,使问题得以解决.
【例2】如图,点P为等边△ABC内一点,且PA=2,PB=1,PC=3,求∠APB的度数.
 
【思路点拨】 将△APC绕点A顺时针旋转60°,得△ADB.连接DA,DP,DB,得AD=AP,DB=PC=3,∠DAP=60°.从而可证△ADP为等边三角形,所以DP=AP=2,∠DPA=60°.在△DPB中,利用勾股定理逆定理可得∠DBP=90°,∠DPB=60°.从而可得∠APB=120°.
2.如图所示,点P是等边△ABC内一点,PB=2,PC=1,∠BPC=150°,求PA的长.

参考答案
【例1】 AE2+BF2=EF2.证明:将△OFB绕点O顺时针旋转90°,得△OHA.连接HE,∴OH=OF,AH=BF,∠BOF=∠AOH,∠HOF=90°.∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAB=90°,∠AOB=90°.∵∠EOF=45°,∴∠AOE+∠BOF=∠AOB-∠EOF=90°-45°=45°.∴∠AOE+∠AOH=∠EOH=45°.∴∠EOH=∠EOF.在△EOH和△EOF中,OH=OF,∠EOH=∠EOF,OE=OE,∴△EOH≌△EOF(SAS).∴EF=EH.∵在Rt△AEH中,由勾股定理得EH2=AH2+AE2,AH=BF,∴AE2+BF2=EF2. 
1.(1)证明:∵△ABD绕点A旋转得到△ACD′,∴AD=AD′,∠CAD′=∠BAD.∵∠BAC=120°,∠DAE=60°,∴∠D′AE=∠CAD′+∠CAE=∠BAD+∠CAE=∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°.∴∠DAE=∠D′AE.在△ADE和△AD′E中,AD=AD′,∠DAE=∠D′AE,AE=AE,∴△ADE≌△AD′E(SAS).∴DE=D′E.
(2)∠DAE=12∠BAC.理由如下:在△ADE和△AD′E中,AD=AD′,AE=AE,DE=D′E,∴△ADE≌△AD′E(SSS).∴∠DAE=∠D′AE.∴∠BAD+∠CAE=∠CAD′+∠CAE=∠D′AE=∠DAE.∴∠DAE=12∠BAC.
(3)∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=∠ACD′=45°.∴∠D′CE=45°+45°=90°.∵△D′EC是等腰直角三角形,∴D′E=2CD′.由(2)可得DE=D′E,∵△ABD绕点A旋转得到△ACD′,∴BD=CD′.∴DE=2BD. 
【例2】 ∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.将△APC绕点A顺时针旋转60°,得△ADB.连接DA,DP,DB,得AD=AP=2,DB=PC=3,∠DAP=60°.∴△ADP为等边三角形,所以DP=AP=2,∠DPA=60°.在△DPB中,DB=3,BP=1,DP=2,∴DP2+BP2=DB2.∴∠DBP=90°,∠DPB=60°.∴∠APB=∠DPB+∠DPA=60°+60°=120°. 
2.将△APC绕点C按逆时针旋转60°,使CA移至CB处,PC移到P′C,PA移到P′B.∵∠PCP′=60°,∴△PCP′是等边三角形.∴∠P′PC=60°,PP′=PC=1.∵∠BPC=150°,∴∠BPP′=90°.在Rt△BP′P中,BP=2,PP′=PC=1,由勾股定理得P′B=22+1=5=PA.∴PA=5. 
3.因为△ABC为等边三角形,△DBC为等腰三角形,∠BDC=120°,所以以D为旋转中心,按顺时针方向将△DBM旋转120°如图,且N、C、E三点在同一条直线上.所以DM=DE,CE=BM,∠BDM=∠CDE.因为∠MDN=60°,所以∠BDM+∠NDC=60°.所以∠NDE=60°.在△DMN和△DEN中,DM=DE,∠MDN=∠EDN,DN=DN,所以△DMN≌△DEN.所以NE=MN.所以△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+NE+AN=AM+NC+CE+AN=AM+NC+MB+AN.即△AMN的周长=AB+AC.因为AB=AC=1,故△AMN的周长为2.

 

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