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初升高数学衔接讲义03-一元二次方程WORD

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用配方法可把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)变为 ①
 a≠0, 4a2>0。于是
(1)当b2-4ac>0时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根x1,2= ;(2)当b2-4ac=0时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根x1=x2=- ;(3)当b2-4ac<0时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边 一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根。
由此可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由b2-4ac来判定,我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示。
综上所述,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),有
(1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根,x1,2= ;
(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根,x1=x2=- ;
(3)当Δ<0时,方程没有实数根。
例1  判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根。
(1)x2-3x+3=0;(2)x2-ax-1=0;(3) x2-ax+(a-1)=0;(4)x2-2x+a=0。
解:(1)∵Δ=32-4×1×3=-3<0,∴方程没有实数根。
(2)该方程的根的判别式Δ=a2-4×1×(-1)=a2+4>0,所以方程一定有两个不等的实数根 , 。
(3)由于该方程的根的判别式为Δ=a2-4×1×(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2,
所以,①当a=2时,Δ=0,所以方程有两个相等的实数根x1=x2=1;
②当a≠2时,Δ>0, 所以方程有两个不相等的实数根x1=1,x2=a-1。
(4)由于该方程的根的判别式为Δ=22-4×1×a=4-4a=4(1-a),所以
①当Δ>0,即4(1-a) >0,即a<1时,方程有两个不相等的实数根 , ;
②当Δ=0,即a=1时,方程有两个相等的实数根x1=x2=1;
③当Δ<0,即a>1时,方程没有实数根。
说明:
在第3,4小题中,方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化,于是,在解题过程中,需要对a的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论。
分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题。


2.1.2  根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根
则有 ;
 。
所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1,x2,那么x1+x¬2= ,x1•x2= 。这一关系也被称为韦达定理。
特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若x1,x2是其两根,由韦达定理可知,x1+x¬2=-p,x1•x2=q,即p=-(x1+x¬2),q=x1•x2,
所以,方程x2+px+q=0可化为 x2-(x1+x¬2)x+x1•x2=0,由于x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的两根,所以,x1,x2也是一元二次方程x2-(x1+x¬2)x+x1•x2=0。因此有以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x¬2)x+x1•x2=0。
所以,方程的另一个根为- ,k的值为-7。
例2已知方程 的一个根是2,求它的另一个根及k的值。
分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出k的值,再由方程解出另一个根。但由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项,于是可以利用两根之积求出方程的另一个根,再由两根之和求出k的值。
解法一:∵2是方程的一个根,∴5×22+k×2-6=0,∴k=-7。
所以,方程就为5x2-7x-6=0,解得x1=2,x2=- 。
解法二:设方程的另一个根为x1,则  2x1=- ,∴x1=- 。
由(- )+2=- ,得 k=-7。所以,方程的另一个根为- ,k的值为-7。
例3 已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m的值。
分析: 本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程,从而解得m的值。但在解题中需要特别注意的是,由于所给的方程有两个实数根,因此,其根的判别式应大于零。
解:设x1,x2是方程的两根,由韦达定理,得x1+x2=-2(m-2),x1•x2=m2+4。
∵x12+x22-x1•x2=21,∴(x1+x2)2-3 x1•x2=21,
即[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21,化简,得 m2-16m-17=0,解得m=-1,或m=17。
当m=-1时,方程为x2+6x+5=0,Δ>0,满足题意;
当m=17时,方程为x2+30x+293=0,Δ=302-4×1×293<0,不合题意,舍去。
综上,m=17。
说明:(1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围,然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值,取满足条件的m的值即可。
(2)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零。因为,韦达定理成立的

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