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初升高数学衔接讲义04-二次函数WORD

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初升高数学衔接讲义04-二次函数
问题1  函数y=ax2与y=x2的图象之间存在怎样的关系?
为了研究这一问题,我们可以先画出y=2x2,y= x2,y=-2x2的图象,通过这些函数图象与函数y=x2的图象之间的关系,推导出函数y=ax2与y=x2的图象之间所存在的关系。
先画出函数y=x2,y=2x2的图象。
先列表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2x2 … 18 8 2 0 2 8 18 
从表中不难看出,要得到2x2的值,只要把相应的x2的值扩大到两倍就可以了。


再描点、连线,就分别得到了函数y=x2,y=2x2的图象(如图2-1所示),从图2-1我们可以得到这两个函数图象之间的关系:函数y=2x2的图象可以由函数y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到。
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y= x2,y=-2x2的图象,并研究这两个函数图象与函数y=x2的图象之间的关系。
通过上面的研究,我们可以得到以下结论:
二次函数y=ax2(a≠0)的图象可以由y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到。在二次函数y=ax2(a≠0)中,二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小。
问题2  函数y=a(x+h)2+k与y=ax2的图象之间存在怎样的关系?
同样地,我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系。同学们可以作出函数y=2(x+1)2+1与y=2x2的图象(如图2-2所示),从函数的图象我们不难发现,只要把函数y=2x2的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单位,就可以得到函数y=2(x+1)2+1的图象。这两个函数图象之间具有“形状相同,位置不同”的特点。
类似地,还可以通过画函数y=-3x2,y=-3(x-1)2+1的图象,研究它们图象之间的相互关系。
通过上面的研究,我们可以得到以下结论:
二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)中,a决定了二次函数图象的开口大小及方向;h决定了二次函数图象的左右平移,而且“h正左移,h负右移”;k决定了二次函数图象的上下平移,而且“k正上移,k负下移”。
由上面的结论,我们可以得到研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的方法:
由于y=ax2+bx+c=a(x2+ )+c=a(x2+ + )+c-   ,
所以,y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数y=ax2的图象作左右平移、上下平移得到的,于是,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质:
(1)当a>0时,函数y=ax2+bx+c图象开口向上;顶点坐标为 ,对称轴为直线x=- ;当x< 时,y随着x的增大而减小;当x> 时,y随着x的增大而增大;当x= 时,函数取最小值y= 。
 (2)当a<0时,函数y=ax2+bx+c图象开口向下;顶点坐标为 ,对称轴为直线x=- ;当x< 时,y随着x的增大而增大;当x> 时,y随着x的增大而减小;当x= 时,函数取最大值y= 。
 上述二次函数的性质可以分别通过图2.2-3和图2.2-4直观地表示出来。因此,在今后解决二次函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题。

例1  求二次函数y=-3x2-6x+1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值),并指出当x取何值时,y随x的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象。
解:∵y=-3x2-6x+1=-3(x+1)2+4,
∴函数图象的开口向下;对称轴是直线x=-1;顶点坐标为(-1,4);
当x=-1时,函数y取最大值y=4;
当x<-1时,y随着x的增大而增大;当x>-1时,y随着x的增大而减小;
采用描点法画图,选顶点A(-1,4)),与x轴交于点B 和C ,与y轴的交点为D(0,1),过这五点画出图象(如图2-5所示)。
说明:从这个例题可以看出,根据配方后得到的性质画函数的图象,可以直接选出关键点,减少了选点的盲目性,使画图更简便、图象更精确。
函数y=ax2+bx+c图象作图要领:
①确定开口方向:由二次项系数a决定。

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