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初升高数学衔接讲义05-方程与不等式WORD

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方程  是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程。其中 , , 叫做这个方程的二次项, , 叫做一次项,6叫做常数项。
我们看下面的两个方程组:  
第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的,第二个方程组是由两个二元二次方程组成的,像这样的方程组叫做二元二次方程组。
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法。
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解。
例1  解方程组
分析:二元二次方程组对我们来说较为生疏,在解此方程组时,可以将其转化为我们熟悉的形式。注意到方程②是一个一元一次方程,于是,可以利用该方程消去一个元,再代入到方程①,得到一个一元二次方程,从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题。
解:由②,得x=2y+2, ③
    把③代入①,整理,得8y2+8y=0,即y(y+1)=0。解得y1=0,y2=-1。
    把y1=0代入③,得x1=2;把y2=-1代入③,得x2=0。
    所以原方程组的解是 ;
说明:在解类似于本例的二元二次方程组时,通常采用本例所介绍的代入消元法来求解。
例2解方程组
解法一:由①,得  ③
把③代入②,整理,得
解这个方程,得 。 
把 代入③,得 ;把 代入③,得 。
所以原方程的解是 ;
解法二:对这个方程组,也可以根据一元二次方程的根与系数的关系,把 看作一个一元二次方程的两个根,通过解这个一元二次方程来求 。
这个方程组的 是一元二次方程 的两个根,
解这个方程,得 ,或 。
所以原方程组的解是 ;
练习1.下列各组中的值是不是方程组 的解? 
(1)   (2)   (3)   (4)  
 
2.解下列方程组:
(1)   (2)   (3)   (4)

2.3.2   一元二次不等式解法
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
二次函数y=x2-x-6的对应值表与图象如下:
由对应值表及函数图象(如图2.3-1)可知


当x=-2,或x=3时,y=0,即x2-x=6=0;
当x<-2,或x>3时,y>0,即x2-x-6>0;
当-2<x<3时,y<0,即x2-x-6<0。
这就是说,如果抛物线y= x2-x-6与x轴的交点是(-2,0)与(3,0),那么一元二次方程x2-x-6=0的解就是x1=-2,x2=3;
同样,结合抛物线与x轴的相关位置,可以得到一元二次不等式x2-x-6>0的解是x<-2,或x>3;
一元二次不等式x2-x-6<0的解是-2<x<3。
上例表明:由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集。
那么,怎样解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)呢?
我们可以用类似于上面例子的方法,借助于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象来解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)。
为了方便起见,我们先来研究二次项系数a>0时的一元二次不等式的解。
我们知道,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),设△=b2-4ac,它的解的情形按照△>0,△=0,△<0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解,相应地,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3-2所示),因此,我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)与ax2+bx+c<0(a>0)的解。

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