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初升高数学衔接讲义06-相似形WORD

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初升高数学衔接讲义06-相似形
在解决几何问题时,我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题。在数学学习与研究中,我们发现平行线常能产生一些重要的长度比。
在一张方格纸上,我们作平行线 (如图3.1-1),直线 交 于点 , ,另作直线 交 于点 ,不难发现
我们将这个结论一般化,归纳出平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。
如图3.1-2, ,有 。当然,也可以得出 。在运用该定理解决问题的过程中,我们一定要注意线段之间的对应关系,是“对应”线段成比例。
例1  如图3.1-2,  ,且 求 。    解: ,  
例2  在 中, 为边 上的点, ,
求证: 。
证明(1) 
 ∽ ,
证明(2)如图3.1-3,过 作直线 ,
  。
过 作 交 于 ,得□ ,因而
  
从上例可以得出如下结论:平行于三角形的一边的直线截其它两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
例3 已知 , 在 上, ,能否在 上找到一点 ,使得线段 的中点在 上。
解设能找到,如图3.1-4,设 交 于 ,则 为 的中点,作 交 于 。
 , ,且 ,
 ,且
 为 的中点。
可见,当 为 的中点时, 的中点在 上。
我们在探索一些存在性问题时,常常先假设其存在,再解之,有解则存在,无解或矛盾则不存在。
例4在 中, 为 的平分线,求证: 。
证明  过C作CE//AD,交BA延长线于E,
 ,
 AD平分
由 知,
 ,    
例4的结论也称为角平分线性质定理,可叙述为角平分线分对边成比例(等于该角的两边之比)。
练习1

A.    B.   C.   D.
2.如图3.1-7,   求 。

 


3.如图,在 中,AD是角BAC的平分线,AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长。

 

4.如图,在 中, 的外角平分线 交 的延长线于点 ,求证: 。


5.如图,在 的边AB、AC上分别取D、E两点,使BD=CE,DE延长线交BC的延长线于F。求证: 。

3.1.2.相似形
我们学过三角形相似的判定方法,想一想,有哪些方法可以判定两个三角形相似?有哪些方法可以判定两个直角三角形相似?
例5如图3.1-11,四边形ABCD的对角线相交于点O, ,求证: 。
证明:在 与 中,
 ∽ , ,即 。
又 与 中, ,  ∽ ,
  。
例6如图3.1-12,在 中, 为直角, 。
求证:(1) , ;
(2)
证明(1)
 , ∽
 ,即 。    同理可证得 。
(2)  ,
 ∽ , ,即 。
我们把这个例题的结论称为射影定理,该定理对直角三角形的运算很有用。
例7在 中,   求证: 。
证明:    为直角三角形,

由射影定理,知 。
同理可得 。 

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