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初升高数学衔接讲义07-三角形WORD

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初升高数学衔接讲义07-三角形
如图3.2-1 ,在三角形 中,有三条边 ,三个角 ,三个顶点 ,在三角形中,角平分线、中线、高(如图3.2-2)是三角形中的三种重要线段。
三角形的三条中线相交于一点,这个交点称为三角形的重心。三角形的重心在三角形的内部,恰好是每条中线的三等分点。
例1求证三角形的三条中线交于一点,且被该交点分成的两段长度之比为2:1。
已知:D、E、F分别为 三边BC、CA、AB的中点,
求证:AD、BE、CF交于一点,且都被该点分成2:1。
证明连结DE,设AD、BE交于点G,
 D、E分别为BC、AE的中点,则DE//AB,且 ,
 ∽ ,且相似比为1:2,
 。
设AD、CF交于点 ,同理可得,
则 与 重合, AD、BE、CF交于一点,且都被该点分成 。
三角形的三条角平分线相交于一点,是三角形的内心。三角形的内心在三角形的内部,它到三角形的三边的距离相等。(如图3.2-5)
例2已知 的三边长分别为 ,I为 的内心,且I在 的边 上的射影分别为 ,求证: 。
证明:作 的内切圆,
则 分别为内切圆在三边上的切点,
 为圆的从同一点作的两条切线,
 ,
同理,BD=BF,CD=CE。
 
 
即 。

例3  若三角形的内心与重心为同一点,求证:这个三角形为正三角形。
已知:O为 的重心和内心。
求证:  为等边三角形。
证明:如图,连AO并延长交BC于D。
O为三角形的内心,故AD平分 ,
 (角平分线性质定理)
O为三角形的重心,D为BC的中点,即BD=DC。
 ,即 。
同理可得,AB=BC。
 为等边三角形。
三角形的三条高所在直线相交于一点,该点称为三角形的垂心。锐角三角形的垂心一定在三角形的内部,直角三角形的垂心为它的直角顶点,钝角三角形的垂心在三角形的外部。(如图3.2-8)
例4求证:三角形的三条高交于一点。
已知: 中, AD与BE交于H点。
求证: 。
证明:以CH为直径作圆,
 
 
 在以CH为直径的圆上, 。
同理,E、D在以AB为直径的圆上,
可得 。 ,
又 与 有公共角 , ,即 。
过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆,该圆是 的外接圆,圆心O为三角形的外心。三角形的外心到三个顶点的距离相等,是各边的垂直平分线的交点。
练习1  1.求证:若三角形的垂心和重心重合,求证:该三角形为正三角形。


 

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