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初升高数学衔接讲义08-圆WORD

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初升高数学衔接讲义08-圆
观察图3.3-1,不难发现直线与圆的位置关系为:当圆心到直线的距离 时,直线和圆相离,如圆 与直线 ;当圆心到直线的距离 时,直线和圆相切,如圆 与直线 ;当圆心到直线的距离 时,直线和圆相交,如圆 与直线 。
在直线与圆相交时,设两个交点分别为A、B。若直线经过圆心,则AB为直径;若直线不经过圆心,如图3.3-2,连结圆心 和弦 的中点 的线段 垂直于这条弦 。且在 中, 为圆的半径 , 为圆心到直线的距离 , 为弦长 的一半,根据勾股定理,有 。

 

 


当直线与圆相切时,如图3.3-3, 为圆 的切线,可得 , ,且在 中, 。
如图3.3-4, 为圆 的切线, 为圆 的割线,我们可以证得 ,因而 。
例1如图3.3-5,若⊙O的半径OB=5cm,弦AB=6cm,D是弧AB的中点,求弦BD的长度。
解:连结OD,交AB于点E。
 D是弧AB的中点,O是圆心,
在 中,OB=5cm,BE=3cm,
 在 中,BE=3cm,DE=1cm,
例2若圆的两条平行弦的长度分别为6和 ,且这两条线的距离为3。求该圆的半径。
解:设圆的半径为 ,分两种情况(如图3.3-6):
①若 在两条平行线的外侧,
如图(1),AB=6,CD= ,则由 ,
得 ,解得 。
(2)若 在两条平行线的内侧(含线上),AB=6,CD= ,
则由 ,得 ,无解。综上可得,圆的半径为5。
    设圆 与圆 半径分别为 ,它们可能有哪几种位置关系?

 

 


观察图3.3-7,两圆的圆心距为 ,不难发现:当 时,两圆相内切,如图(1);当 时,两圆相外切,如图(2);当 时,两圆相内含,如图(3);当 时,两圆相交,如图(4);当 时,两圆相外切,如图(5).
例3设圆 与圆 的半径分别为3和2, , 为两圆的交点,试求两圆的公共弦 的长度。
解:连 交 于 ,则 ,且 为 的中点,
设 ,则  ,
解得 。
故弦 的长为 。
练习1 1.如图3.3-9,⊙O的半径为17cm,弦AB=30cm,AB所对的劣弧和优弧的中点分别为D、C,求弦AC和BD的长。

 

 


 

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