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华师大版八年级下册培优专题二-函数解题中的数学思想应用WORD

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资料类别: 教案学案
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华师大版八年级下册培优专题二-函数解题中的数学思想应用
一. 方程思想的应用
  例1. 已知点P(x,x+y)与点Q(y+5,x-7)关于x轴对称,则点Q坐标为______。
    分析:P点关于x轴对称时,横坐标不变,纵坐标相反
    构造方程组
    解得:
    ∴Q点坐标为(4,-3)

  例2. 已知一次函数 的图像经过第一、二、三象限,求m的值。
    分析:一次函数条件:x的次数为1
    即:
    得:
    解得:
    而当
    此时 图像经过一、三、四象限
    不符合题意,舍去
    故m=3
二. 数形结合思想的应用
  例1. 一次函数 的图像经过第_______象限。
    分析: 充当 中的k,此时大于0
     充当 中的b,此时小于0
    则依据直线 ,当 的图象示意图:可知图像经过一、三、四象限。
  例2. 已知反比例函数 是反比例函数图象上的三个点,若 ,试判断 的大小关系。
    分析:反比例函数 的图像位于二、四象限
    只需将 在图像上找到相对应的点,则可确定相应的函数值 。从而根据位置判断大小。
    y轴上,越往上数越大,所以 。

例3. 如图所示,一次函数 的图像过第一、三、四象限,且与双曲线 的图像交于A、B两点,与y轴交于C, 是 终边上的一点,若 ,原点O到A点的距离为
    (1)求A点坐标;
    (2)求反比例函数的解析式;
    (3)若 ,求一次函数的解析式。

    分析:此题关键是在平面直角坐标系中借助 及 ,在Rt△中求A点坐标。从而进一步借助 到y轴距离等于 ,求出b,确定一次函数的解析式。
    解:(1)设点A坐标为(a,b),且
    过A作 轴交x轴于M
    则
    在
    
    所以点A坐标为(5,1)
    (2)此反比例函数解析式为
    (3) ,且 (OC=|b|,C在x轴下方)
    
    ∴一次函数解析式为:
    又∵直线 过点
    
    ∴一次函数解析式为

三. 分类讨论思想的应用
  例1. 已知点N在x轴下方,且到x轴距离为2,到y轴距离为 ,则点N的坐标为_________。
    分析:设点N坐标为(x,y)
    由题意得:
    则
    又∵点N在x轴下方,y<0
    
    

  例2. 已知直线 与直角坐标系的两坐标轴围成的三角形的面积为9,则直线解析式为__________。
    分析:设直线 与x轴交点为A,与y轴交点为B
    则
    
    ∴直线解析式为

  例3. 已知点A为平面直角坐标系内第四象限夹角平分线上一点,且OA=5,试在坐标轴上找一点C,使得△AOC为等腰三角形,并写出C点坐标。
    分析:首先应分别在x轴和y轴上找点C
    其次,△AOC应分类找:(1)OA为腰;(2)OA为底

当C点在x轴上时                        当C点在y轴上时

              

 

四. 转化思想的应用
  例1. 已知一次函数 的图像经过二、三、四象限,求k的取值范围。
    分析:直线经过二、三、四象限
    则
    得:
    所以

  例2. 待定系数解题(转化为方程组)
    如:已知 与 成正比例,其中m,n是常数,当 时, ;当 时, ,求y与x的函数关系。
    分析:设
    当 时, 得:
    当 时, 得:
    解方程组
    
    解得:
    所求函数关系式为:

五. 几何解题思想的综合应用
  例:已知反比例函数 和一次函数 ,其中一次函数的图象经过(a,b),(a+1,b+k)两点。
    (1)求反比例函数的解析式;
    (2)如图所示,已知点A是上述两个函数的图象在第一象限的交点,求点A的坐标;
    (3)利用(2)的结果,回答:在x轴上是否存在点P,使△AOP为等腰三角形?若存在,把符合条件的P点坐标都求出来;若不存在,请说明理由。

    分析:(1)由一次函数 的图象经过两点(a,b),(a+1,b+k),代入消去a,b,可得k=2,进而可确定反比例函数的关系式。
    (2)将 联立成方程组,易求出点A的坐标;
    (3)应根据OA为腰和底进行分类,结合(2)探求出点P的存在性。
    解:(1)依题意可得:
    两式相减,得
    所以反比例函数的解析式为
    (2)由 ,得 ,
    经检验 都是原方程组的解。
    因为A点在第一象限,所以A点坐标为(1,1)
    (3) ,OA与x轴所夹锐角为45°
    如图下所示①,当OA为腰时,由OA=OP,得
    由 ,得
    ②当OA为底时,得
    所以这样的点有4个,分别是 、
 

【模拟试题】(答题时间:30分钟)
  1. 反比例函数 的图象上两点 , ,当 时,有 ,则m的取值范围是_____________。
  2. 已知反比例函数 的图象在第一、三象限,则一次函数 的图象不经过第___________象限。
  3. 直线 与y轴的交点在x轴上方,且y随x的增大而减小,则m的取值范围是__________。
  4. 三角形三边长为3cm,5cm,xcm,则三角形的周长为 与 的函数关系式是______________,自变量x的取值范围是___________。
  5. 当m取何值时,函数 是x的一次函数?它是否是正比例函数?
  6. 已知一次函数 的图象经过第一、三、四象限,求m的取值范围。
  7. 直线 和直线 的交点在第__________象限。
  8. 两个一次函数的图象交于y轴上一点A,分别交x轴于点B、C,如图所示,若已知|OB|:|OA|:|OC|=1:2:3,且△ABC的面积是16,求两函数的解析式。
 
  9. 在平面直角坐标系中,已知点 在第二象限,且m为整数,则过点A的反比例函数的解析式为________________。
  10. 如果一次函数 的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为10,则此一次函数为_________________。
  11. 已知点A是正比例函数 和反比例函数 在第一象限的交点
    (1)求点A的坐标;
    (2)如果直线 经过点A且与x轴交于点C,求b及点C的坐标。
  12. 如图所示,在第四象限内的矩形OABC,两边在坐标轴上,一个顶点在一次函数 的图象上,当点A从左向右移动时,矩形的周长与面积也随之发生变化,设线段OA长m,矩形的周长为 ,面积为s。

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