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华师大版八年级下册培优专题四-梯形WORD

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华师大版八年级下册培优专题四-梯形
 与平行四边形一样,梯形也是一种特殊的四边形,其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位,本讲就来研究它们的有关性质的应用.
  例1 如图2-43所示.在直角三角形ABC中,E是斜边AB上的中点,D是AC的中点,DF∥EC交BC延长线于F.求证:四边形EBFD是等腰梯形.
  分析 因为E,D是三角形ABC边AB,AC的中点,所以ED∥BF.此外,还要证明(1)EB=DF;(2)EB不平行于DF.
  证 因为E,D是△ABC的边AB,AC的中点,所以ED∥BF.
  又已知DF∥EC,所以ECFD是平行四边形,所以 EC=DF. ①
  又E是Rt△ABC斜边AB上的中点,所以EC=EB. ②
  由①,② 得EB=DF.
  下面证明EB与DF不平行.
  若EB∥DF,由于EC∥DF,所以有EC∥EB,这与EC与EB交于E矛盾,所以EB DF.
  根据定义,EBFD是等腰梯形.
  例2 如图2-44所示.ABCD是梯形, AD∥BC, AD<BC,AB=AC且AB⊥AC,BD=BC,AC,BD交于O.求∠BCD的度数.
 
  分析 由于△BCD是等腰三角形,若能确定顶点∠CBD的度数,则底角∠BCD可求.由等腰Rt△ABC可求知斜边BC(即BD)的长.又梯形的高,即Rt△ABC斜边上的中线也可求出.通过添辅助线可构造直角三角形,求出∠BCD的度数.
  解 过D作DE⊥EC于E,则DE的长度即为等腰Rt△ABC斜边上的高AF.设AB=a,由于△ABF也是等腰直角三角形,由勾股定理知:AF2+BF2=AB2,
  即
     
又BC2=AB2+AC2=2AB2=2a2,
  由于BC=DB,所以,在Rt△BED中,
  
  
  从而∠EBD=30°(直角三角形中30°角的对边等于斜边一半定理的逆定理).在△CBD中,
  
  例3 如图2-45所示.直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,∠ADC=135°,CD的垂直平分线交BC于N,交AB延长线于F,垂足为M.求证:AD=BF.
 
  分析 MF是DC的垂直平分线,所以ND=NC.由AD∥BC及∠ADC=135°知,∠C=45°,从而∠NDC=45°,∠DNC=90°,所以ABND是矩形,进而推知△BFN是等腰直角三角形,从而AD=BN=BF.
  证 连接DN.因为N是线段DC的垂直平分线MF上的一点,所以ND=NC.由已知,AD∥BC及∠ADC=135°知:∠C=45°,
  从而:∠NDC=45°.
  在△NDC中,∠DNC=90°(=∠DNB),
  所以ABND是矩形,所以AF∥ND,∠F=∠DNM=45°.
  △BNF是一个含有锐角45°的直角三角形,所以BN=BF.又AD=BN,
  所以 AD=BF.
  例4 如图2-46所示.直角梯形ABCD中,∠C=90°,AD∥BC,AD+BC=AB,E是CD的中点.若AD=2,BC=8,求△ABE的面积.
 
  分析 由于AB=AD+BC,即一腰AB的长等于两底长之和,它启发我们利用梯形的中位线性质(这个性质在教材中是梯形的重要性质,我们将在下一讲中深入研究它,这里只引用它的结论).取腰AB的中点F, (或BC).过A引AG⊥BC于G,交EF于H,则AH,GH分别是△AEF与△BEF的高,所以
AG2=AB2-BG2=(8+2)2-(8-2)2=100-36=64,
  所以AG=8.这样S△ABE(=S△AEF+S△BEF)可求.
  解 取AB中点F,连接EF.由梯形中位线性质知:EF∥AD(或BC),
 
  过A作AG⊥BC于G,交EF于H.由平行线等分线段定理知,AH=GH且AH,GH均垂直于EF.在Rt△ABG中,由勾股定理知
  AG2=AB2-BG2=(AD+BC)2-(BC-AD)2 =102-62=82,
  所以 AG=8, 从而 AH=GH=4,
  所以S△ABE=S△AEF+S△BEF
      
    
      
  例5 如图2-47所示.四边形ABCF中,AB∥DF,∠1=∠2,AC=DF,FC<AD.
 
  (1)求证:ADCF是等腰梯形;
  (2)若△ADC的周长为16厘米(cm),AF=3厘米,AC-FC=3厘米,求四边形ADCF的周长.
  分析 欲证ADCF是等腰梯形.归结为证明AD∥CF,AF=DC,不要忘了还需证明AF不平行于DC.利用已知相等的要素,应从全等三角形下手.计算等腰梯形的周长,显然要注意利用AC-FC=3厘米的条件,才能将△ADC的周长过渡到梯形的周长.
  解 (1)因为AB∥DF,所以∠1=∠3.结合已知∠1=∠2,所以∠2=∠3,所以
EA=ED.
  又 AC=DF, 所以 EC=EF.
  所以△EAD及△ECF均是等腰三角形,且顶角为对顶角,由三角形内角和定理知∠3=∠4,从而AD∥CF.不难证明
△ACD≌△DFA(SAS),
  所以 AF=DC.
  若AF∥DC,则ADCF是平行四边形,则AD=CF与FC<AD矛盾,所以AF不平行于DC.
  综上所述,ADCF是等腰梯形.
  (2)四边形ADCF的周长=AD+DC+CF+AF. ①
  由于△ADC的周长=AD+DC+AC=16(厘米), ②
  AF=3(厘米), ③
  FC=AC-3, ④
  将②,③,④代入①
  四边形ADCF的周长=AD+DC+(AC-3)+AF
          =(AD+DC+AC)-3+3
          =16(厘米).
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