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华师大版八年级下册培优专题五-勾股定理与应用WORD

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华师大版八年级下册培优专题五-勾股定理与应用
勾股定理 直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2.
勾股定理逆定理 如果三角形三边长a,b,c有下面关系:a2+b2=c2。那么这个三角形是直角三角形.
关于勾股定理,有很多证法,在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的.下面的证法1是欧几里得证法.
  证法1 如图2-16所示.在Rt△ABC的外侧,以各边为边长分别作正方形ABDE,BCHK,ACFG,它们的面积分别是c2,a2,b2.下面证明,大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和.
  过C引CM∥BD,交AB于L,连接BG,CE.因为AB=AE,AC=AG,∠CAE=∠BAG,
  所以△ACE≌△AGB(SAS).而
 
  
 
  所以 SAEML=b2. ①  ,可证 SBLMD=a2. ②
  ①+②得:ABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2, 即 c2=a2+b2.
  证法2 如图2-17所示.将Rt△ABC的两条直角边CA,CB分别延长到D,F,使AD=a,BF=b.完成正方形CDEF(它的边长为a+b),又在DE上截取DG=b,在EF上截取EH=b,连接AG,GH,HB.由作图易知:ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC,
  所以,G=GH=HB=AB=c,∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°,
  因此,AGHB为边长是c的正方形.显然,正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC,△ADG,△GEH,△HFB)的面积和,即
 
  化简得 a2+b2=c2.
  证法3 如图2-18.在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE,延长CB,自E作EG⊥CB延长线于G,自D作DK⊥CB延长线于K,又作AF, DH分别垂直EG于F,H.由作图不难证明,下述各直角三角形均与Rt△ABC全等:
△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB.
  设五边形ACKDE的面积为S,一方面
  S=SABDE+2S△ABC, ①
  另一方面
  S=SACGF+SHGKD+2S△ABC. ②
  由①,②
  
  所以 c2=a2+b2.
  关于勾股定理,在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法,我们将在习题中展示其中一小部分,它们都以中国古代数学家的名字命名.
  利用勾股定理,在一般三角形中,可以得到一个更一般的结论.
  定理 在三角形中,锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和,减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍.
 
  证 (1)设角C为锐角,如图2-19所示.作AD⊥BC于D, 则CD就是AC在BC上的射影.在直角三角形ABD中,AB2=AD2+BD2, ①
  在直角三角形ACD中,AD2=AC2-CD2, ②
  又BD2=(BC-CD)2, ③
  ②,③代入①得
  AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2
   =AC2-CD2+BC2+CD2-2BC•CD
   =AC2+BC2-2BC•CD,
  即c2=a2+b2-2a•CD. ④
  (2)设角C为钝角,如图2-20所示.过A作AD与BC延长线垂直于D,则CD就是AC在BC(延长线)上的射影.在直角三角形ABD中,
  AB2=AD2+BD2, ⑤
  在直角三角形ACD中,
  AD2=AC2-CD2, ⑥
  又BD2=(BC+CD)2, ⑦
  将⑥,⑦代入⑤得
  AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2
   =AC2-CD2+BC2+CD2+2BC•CD
   =AC2+BC2+2BC•CD,
  即 c2=a2+b2+2a•cd. ⑧
  综合④,⑧就是我们所需要的结论
  
  特别地,当∠C=90°时,CD=0,上述结论正是勾股定理的表述:
c2=a2+b2.
  因此,我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广).
  由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响.在△ABC中,
  (1)若c2=a2+b2,则∠C=90°;
  (2)若c2<a2+b2,则∠C<90°;
  (3)若c2>a2+b2,则∠C>90°.
  勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系,因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用.
  例1 如图2-21所示.已知:在正方形ABCD中,∠BAC的平分线交BC于E,作EF⊥AC于F,作FG⊥AB于G.求证:AB2=2FG2.
 分析 注意到正方形的特性∠CAB=45°,所以△AGF是等腰直角三角形,从而有AF2=2FG2,因而应有AF=AB,这启发我们去证明△ABE≌△AFE.
  证 因为AE是∠FAB的平分线,EF⊥AF,又AE是△AFE与△ABE的公共边,所以
Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS),
  所以 AF=AB. ①
  在Rt△AGF中,因为∠FAG=45°,所以,G=FG,
  AF2=AG2+FG2=2FG2. ②
  由①,②得:B2=2FG2.
  说明 事实上,在审题中,条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等,从而将AB“过渡”到AF,使AF(即AB)与FG处于同一个直角三角形中,可以利用勾股定理进行证明了.
  例2.四边形ABCD中∠DAB=60 ,∠B=∠D=Rt∠,BC=1,CD=2
求对角线AC的长                   
解:延长BC和AD相交于E,则∠E=30                      
∴CE=2CD=4,                                 
在Rt△ABE中                             
设AB为x,则AE=2x                            
根据勾股定理x2+52=(2x)2,  x2=              
在Rt△ABC中,AC= = =
例3.已知△ABC中,AB=AC,∠B=2∠A
求证:AB2-BC2=AB×BC                  
证明:作∠B的平分线交AC于D,            
 则∠A=∠ABD,                      
∠BDC=2∠A=∠C
∴AD=BD=BC                              
作BM⊥AC于M,则CM=DM                 
AB2-BC2=(BM2+AM2)-(BM2+CM2)            
    =AM2-CM2=(AM+CM)(AM-CM)         
    =AC×AD=AB×BC
例4.如图已知△ABC中,AD⊥BC,AB+CD=AC+BD
 求证:AB=AC                 
 证明:设AB,AC,BD,CD分别为b,c,m,n         
则c+n=b+m,   c-b=m-n                     
∵AD⊥BC,根据勾股定理,得                       
AD2=c2-m2=b2-n2                                                                
∴c2-b2=m2-n2,  (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)
(c+b)(c-b) =(m+n)((c-b)                           
(c+b)(c-b) -(m+n)(c-b)=0
(c-b){(c+b)-(m+n)}=0
∵c+b>m+n,  ∴c-b=0  即c=b
∴AB=AC
例5.已知梯形ABCD中,AB∥CD,AD>BC
求证:AC>BD
证明:作DE∥AC,DF∥BC,交BA或延长线于
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