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华师大版八年级下册培优专题七-换元法WORD

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资料类别: 教案学案
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华师大版八年级下册培优专题七-换元法
一、内容提要
1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个(些)字母的表达式用另一个(些)字母的表达式来代换,这种解题方法,叫做换元法,又称变量代换法.
2. 换元的目的是化繁为简,化难为易,沟通已知和未知的联系.
例如通过换元来降次,或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.
3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量的取值范围扩大了,则在求解之后要加以检验.
4. 解二元对称方程组,常用二元基本对称式代换.
5. 倒数方程的特点是:按未知数降幂排列后,与首、末等距离的项的系数相等.
例如:一元四次的倒数方程ax4+bx3+cx2+bx+a=0.
两边都除以x2,得a(x2+ )+b(x+ )+c=0.
设x+ =y,  那么x2+ = y2-2,  
原方程可化为ay2+by+c-2=0.
对于一元五次倒数方程 ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0, 必有一个根是-1.
原方程可化为  (x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0.
ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0 ,这是四次倒数方程.
形如 ax4-bx3+cx2+bx+a=0 的方程,其特点是:
与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等,奇数次幂的系数是互为相反数.
两边都除以x2, 可化为a(x2+ )-b(x- )+c=0.
设x- =y, 则x2+ =y2+2,   
原方程可化为 ay2-by+c+2=0.
二、例题
例1. 解方程 =x.
解:设 =y,  那么y2=2x+2 .
原方程化为: y- y2=0 .
解得  y=0;或y=2.
当y=0时,  =0 (无解)
当y=2时,  =2,
解得,x= .  检验(略).
  例2. 解方程:x4+(x-4)4=626.
解:(用平均值  代换,可化为双二次方程.)
设 y= x-2 ,则x=y+2.    
原方程化为  (y+2)4+(y-2)4=626. 
[((y+2)2-(y-2)2)2+2(y+2)2(y-2)2-626=0
整理,得  y4+24y2-297=0.   (这是关于y的双二次方程).
(y2+33)(y2-9)=0.   
当y2+33=0时, 无实根 ;   
当y2-9=0时, y=±3.
即x-2=±3,     
∴x=5;或x=-1.
例3. 解方程:2x4+3x3-16x2+3x+2=0 .   
解:∵这是个倒数方程,且知x≠0,
两边除以x2,并整理 得2(x2+ )+3(x+ )-16=0. 
        设x+ =y, 则x2+ =y2-2.
原方程化为 2y2+3y-20=0.  
解得 y=-4;或y= .
由y=-4得 x=-2+ ;或x=-2- .
由y=2.5得  x=2;或x= .
例4 解方程组
解:(这个方程组的两个方程都是二元对称方程,可用基本对称式代换.)
 设x+y=u,  xy=v.  原方程组化为:
 .  解得 ;  或 .
即  ;  或   .
解得: ;或 ;或 ;或 .

三、练习 
解下列方程和方程组:(1到15题):
1.  35-2x.
2. (16x2-9)2+(16x2-9)(9x2-16)+(9x2-16)2=(25x2-25)2.
3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .         4. (2x2-x-6)4+(2x2-x-8)4=16.
5. (2 )4+(2 )4=16.
6.  = .       7. 2x4-3x3-x2-3x+2=0.
8.           9.  .
10.  .
11. (6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.
12.  .          13.  .
14.  .       15  .
16. 分解因式: ①(x+y-2xy)(x+y-2)+(1-xy)2;         ②a4+b4+(a+b)4 .
17. 已知:a+2=b-2=c×2=d÷2,  且a+b+c+d=1989.   
则a=___,b= ____,c=_____,d=____     
18. [a]表示不大于a的最大整数,如[ ]=1,[- ]=-2,
那么 方程 [3x+1]=2x-  的所有根的和是_____.

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