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浙教版八年级下册5.6三角形的中位线优质课评比课件及教案PPT+WORD

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浙教版八年级下册5.6三角形的中位线优质课评比课件及教案
引入课题 师:同学们,前面我们已经学习了平行四边形的有关知识。今天我们要利用这些知识帮助我们解决有关三角形中的问题。

师:这里有一张三角形纸片,剪一刀,你能将它剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片吗?(停顿)
 

 

生:学生思考动手操作1分钟 
定理的探究与证明
 师:对了,只要作一条平行于三角形一边的直线,沿着这条直线剪出的就是所要的三角形和梯形纸片了。

师:如果要求剪得的两张纸片能拼成平行四边形,剪痕的位置有什么要求。动手试试看?(停顿)
  
师:把剪得的两个图形拼成一个平行四边形,可将其中的三角形作怎样的图形变换(停顿)?
     

 

生:思考

 

生:动手操作 
 师:你一定想到了吧。我们不妨设剪痕DE∥BC我们可以把△ADE以E为旋转中心,旋转 得到△CFE。要使△ADE与梯形DBCE能拼成一个平行四边形,则AE与CE应满足什么条件?

师:对了,AE必须等于CE。

师:满足了这个条件后,让我们一起来看看我们得到的是不是一个平行四边形?

师:∵DE∥BC, △ADE以E为旋转中心,旋转 得到△CFE。
∴D、E、F三点在同一直线上,A、E、C三点在同一直线上。
∴DF∥BC
又∵△ADE≌△CFE
∴∠A=∠ECF
∴CF∥AD,即CF∥DB
∴四边形BCFD为平行四边形。
 生:AE=CE 
 师:现在我们再回过头来看看,刚才我们说明了要使得它们拼为平行四边形E点要是AC的中点。那么D点呢,它的位置有什么要求吗?(停顿)

师:由平行四边形我们可知CF=BD,有旋转变换可知CF=AD,所以我们可得D点也是AB的中点。

师:像这样连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,DE就是△ABC的一条中位线。三角形中像这样的中位线一共有三条。中位线和以往我们所学习的三角形的中线是有所不同的,三角形的中线是指连接三角形一个顶点和对边中点的线段,因此大家要把中位线和中线区分开来。

师:那么通过刚才的探究大家能不能试着总结出三角形的中位线DE与边BC之间有什么关系呢?(停顿)

师:由平行四边形BCFD可得DE∥BC,又因为EF=DE,DF=BC,所以 。
师:由此我们可得到三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
师:我们用几何语言描述为
∵DE是△ABC的中位线
 
生:D点是AB的中点。

 

 

 

 

 

 

 

 

生:学生思考 
 师:除了刚才所用的旋转的方法,还可以如何添加辅助线来完成上述定理的证明?(停顿)

师:证法一:
过点C作AB的平行线交DE的延长线于F
∵CF∥AB,∴∠A=∠ECF
又AE=EC,∠AED=∠CEF
    ∴△ADE  ≌ △CFE ∴AD=FC
又DB=AD,∴DB∥FC且DB=FC
∴四边形BCFD是平行四边形
 
师:证法二:
我们也可以延长DE至F,使EF=DE,再连结FC。然后证明△ADE≌△CFE。其余证法和刚才的方法相同。

师:证法三:
再如:自C作AB的平行线交DE的延长线于F,连结AF,DC。
 ∵AE=EC,∠AED=∠CEF,
∠DAE=∠FCE
∴△ADE≌△CEF
∴DE=EF
∴四边形ADCF是平行四边形,
AD=FC
又∵D为AB中点,
∴DB∥FC,DB=FC
∴四边形BCFD是平行四边形。
 
师:证法四:
也可以如图过E作AB的平行线交BC于F,自A作BC的平行线交FE于G。
    ∵AG∥BC
∴∠EAG=∠ECF,又AE=EC,∠AEG=∠CEF
∴△AEG≌△CEF
∴AG=FC,GE=EF
又∵AB∥GF,AG∥BF
∴四边形ABFG是平行四边形。
∴BF=AG=FC,AB=GF
又∵D为AB中点,E为GF中点
∴DB∥EF
∴四边形DBFE是平行四边形。
∵DE=BF=FC即
师:在证明中位线定理的时候我们采用的方法是想办法构造平行四边形,利用平行四边形的性质来判断三角形中位线与第三边的关系。 生:学生思考2分钟 
定理的应用 师:接下来,让我们运用刚才所学的知识来解决下面的问题。

师:如图,△ABC的周长为36,D、E、F分别是三边的中点。
则(1)△DEF的周长为多少?
(2)△DEF的面积与△ABC的面积有何关系?(停顿)

师:因为D、E、F分别是三边的中点,
所以
这样△DEF周长就等于△ABC周长的一半,即18。
师:第二小问,在求面积之前,我们先来看看由三条中位线围成的三角形之间有什么关系,先看△DEF和△DAF。
因为DE∥AC EF∥AB
所以∠EDF=∠AFD∠EFD=∠ADF,且DE=ED
所以△DEF≌△DAF。
同理可得△DEF≌△DBE≌△EFC
所以这四个三角形都是全等三角形,
因此△DEF的面积是△ABC的面积的1/4。

师:通过刚才的这道题目,我们发现三条中位线把三角形分成四个三角形,而这四个三角形是全等的。每个三角形的周长都是大三角形周长的一半,而面积是大三角形面积的1/4。 


生:学生思考2分钟 
 师:让我们一起来继续挑战下面一题。
    已知:如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB,BC,CD,DA的中点。
    求证:四边形EFGH是平行四边形。(停顿)

师:由E,F分别是AB,BC的中点,你会联想到什么图像?

师:对了,是中位线。要使EF成为一个三角形的中位线,应怎样添加辅助线?(停顿)

师:没错,连结AC。
    这样我们就构造出了两个三角形,并且两个三角形中分别有EF和GH两条中位线。
    因为
    同理
    所以
    所以四边形EFGH是平行四边形。
师:在这个问题当中,我们发现,对于一个任意四边形,连结四边形各个边上的中点所形成的四边形是平行四边形。今后我们还会发现在添加了其他条件后,这样的中点四边形还会是一些特殊的平行四边形。
 生:学生思考2分钟

 

 


生:学生思考 
小结 师:今天我们知道了连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
   三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半。这些都可以借助构造平行四边形来证明。
   通过刚才例题的讲解,我们发现以后的题目当中如果出现了中点问题,我们可以联想到三角形的中位线,并利用它的性质来解决问题。
     

 

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